Бесконечность в математике: развитие понятия и значение в науке
Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком
Интерес к очень большим числам появился в самой глубокой древности. Чтобы сказать о чем-то, что очень велико, египтяне прибегали к образным сравнениям. В одном из текстом гробницы жреца бога Аи (XIV в. до н. э.) говорится: «Да наградит тебя он (Бог) юбилеями, как число песка на берегу моря… или вес горы, взвешенной на весах, или перья птиц, или листья деревьев». Египтянам было трудно выразить иначе свою мысль, так как у них не была достаточно развита система числовых обозначений. Но уже более 4000 лет назад в Древнем Вавилоне появилась шестидесятиричная система счисления, и вавилонские математики свободно справлялись с очень большими числами.
В одной из таблиц приводятся все делители числа 195 955 200 000000. Об очень больших числах говорится и в индусских легендах о Будде. По одной из них его еще в детстве подвергли испытанию в числах и, переходя от одного разряда к другому, он дошел до чисел, которыми выражается весь песок десятка лакх (лакха — 100 000) рек, таких, как Ганг. А еще в одном древней индуской книге рассказывается о сравнении, в котором участвовали 10 в 23 степени обезьян. Такого количества обезьян не смогла бы вместить вся Солнечная система!
По видимому уже египтяне и вавилоняне пришли к идее вечности — к мысли, что течение времени не будет иметь конца. Эта идея ярко выражена в восточной притче: «Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение вечности».
Однако и в Египте, и в Вавилоне еще не было мысли о бесконечности пространства. Считалось, что небо — это твердая сфера, опирающаяся на Землю, а что находится за пределами сферы, смертным знать не дано. Но уже в VI в. до н. э. в Древней Греции возникла идея бесконечности пространства. Греческие ученые говорили: «Где бы ни стал воин, он сможет протянуть свое копье еще дальше». (Теперь мы знаем, что это рассуждение доказывает не бесконечность пространства, а лишь его неограниченность, но в древности такие тонкости были недоступны уму ученых.) Так возникли модель мира, бесконечного во всех направлениях и вечного во времени. Наиболее смелые мыслители утверждали даже, что мир не имел и начала.
Делится или не делится
После того, как появилась идея бесконечности, интересы ученых обратились не только к бесконечно большим величинам (вечности, бесконечному пространству), но и к величинам бесконечно малым. Повседневный опыт учил, что хлеб, яблоко, кувшин вина можно разделить между сидящими за столом. В случае необходимости можно каждую из частей снова разделить на части. Но через несколько шагов получались настолько маленькие части, что дальше деление становилось невозможным. Чтобы дать представление о столь малых величинах применялись такие образы, как «пылинка», «маковое зерно» и т. д. Но можно ли делить на части пылинку? Повседневный опыт здесь не помогал, и его место должны были занять умозрения. И вот, споря об устройстве тех бесконечно малых величин, из которых сложен весь видимый мир, математики и философы распались на два лагеря.
Представители одного из них признавали возможным бесконечное деление. Они говорили, что «среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно, ибо существующее не может перестать существовать» (Анаксагор, V в. до н. э.). Представители второго лагеря возражали: «если деление двух величин на части может продолжаться до бесконечности, то нет основания считать одну величину больше, чем другая, а самая природа неравенства уничтожается». Им казалось — если любую вещь можно разделить на бесконечное множество бесконечно малых величин, то все вещи окажутся равными друг другу — все они будут состоять из одинакового числа одинаковых величин. Идея, что и бесконечность имеет свои градации, свои ступени, не приходила им в голову — для этого и математика и философии должны были пройти очень долгий путь развития.
Отыскивая выход из этого затруднения, представители второго направления и философии предположили, что все тела состоят из далее неделимых частиц — атомов. Атомисты обсуждали, каковы эти атомы,— имеют ли они размеры и неделимы в силу крайней твердости и отсутствия пустот или же напротив, они неделимы, так как не имеют размеров.
Таким образом, атомисты и их противники расходились лишь во взглядах на природу вещей. В том, что само пространство безгранично делимо, не сомневался никто. Но в середине V века н. э. философ Зенон Эленский открыл, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречиям. Он утверждал: если пространство можно делить на любое число частей, то не может быть движения. Ведь летящая стрела, прежде чем попасть в цель, должна пролететь половину пути, а до этого она должна пролететь четверть пути, а до этого – одну восьмую пути и т. д. И так как процесс деления пути пополам никогда не кончится, то полет стрелы никогда не начнется, стрела всегда будет неподвижна. Точно так же Зенон «доказывал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху.
Аргументы Зенона показали, как наивны были представления о бесконечности, господствовавшие в тогдашней философии и математике. Оказалось, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число отрезков, каждый из которых имеет конечную длину — а до Зенона все полагали, что сумма бесконечного числа протяженных отрезков бесконечна.
Интересно, что сейчас в теоретической физике неожиданным образом возникают противоречия, чем-то напоминающие противоречия Зенона. Только у Зенона бесконечным оказалось время, за которое стрела прилетит расстояние до цели, а у современных физиков бесконечна энергия взаимодействия электрона с порождаемым им электромагнитным полем. И может быть, причины затруднений Зенона и современных физиков чем-то родственны – в обоих случаях речь идет о строении пространства в малом, о возможности применять к микромиру понятия, возникшие в обыденной жизни.
После Зенона нельзя было обращаться с бесконечностью с небрежностью, характерной для его предшественников. Нельзя было больше говорить, что «круг — это правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон», а что «пирамида состоит из бесконечного числа многоугольников» (впрочем, такие утверждения попадались в некоторых учебниках математики в XIX веке, через два тысячелетия после Зенона).
Но философы не сразу отказались от привычных понятий. Чтобы восстановить бесконечность в правах, Демокрит создал теорию о существовании мельчайших, неделимых далее частей линий, поверхностен и тел. При этом он, по-видимому, имел в виду не физические тела (физический атомизм был создан Леокиппом задолго до Демокрита), а новое представление об устройстве самого геометрического пространства. Если бы Демокриту удалась его попытка, рассуждения Зенона потеряли бы свое острие — как только в процессе деления мы дойдем до неделимых далее частей пространства, все пойдет как по маслу — стрела полетит в цель. Ахиллес догонит черепаху и т. д. Однако теория пространства по Демокриту слишком противоречила устоявшимся представлениям. Другую попытку спасти положение предпринял величайший философ древности Аристотель. Он допускал бесконечный процесс деления пополам, но отрицал возможность разделить отрезок на бесконечное множество бесконечно малых частей.
Счет песчинок
Споры Демокрита, Зенона, Аристотеля были весьма важны для философов. Но главным образом они волновали математиков. Ведь сама идея бесконечности насквозь математична, на ней строились многие математические методы, и критика Зенона непосредственно задевала веру в справедливость полученных результатов. Надо было подводить фундамент под покосившееся здание. В первую очередь надо было укрепить ту простейшую математическую модель, которая отражала идею бесконечности — идею бесконечного числового ряда.
Понятие о таком ряде имело важнейшее значение для всего хода развития математики. Сейчас даже ученик неполной средней школы знает, что числовой ряд бесконечен, что среди натуральных чисел нет наибольшего, а за каждым натуральным числом идет следующее. Но когда-то идеи о бесконечности числового ряда была величайшим завоеванием математической и философской мысли.
И хотя греческие ученые и знали, что числовой ряд бесконечен, они не умели записывать слишком большие числа. Самым большим числом, которое они умели называть, была октада, то есть 10 в третьей степени. Только в ІІІ в. до н. э. появилось сочинение Архимеда «Псаммит» («Исчисление песчинок»), где он показывает существование числа, большего, чем число всех песчинок в шаре, радиус которого равен расстоянию до сферы неподвижных звезд (в те времена думали, что все звезды прикреплены к сфере, в центре которой находится Земля). Хотя расстояние от Земли до звезд Архимед взял слишком малым, но его система счисления была такой, что с ее помощью можно было бы выразить даже число атомов в мире, радиус которого равен расстоянию до самой отдаленной туманности.
Если с идеей бесконечности в арифметике дела обстояли сравнительно благополучно, то про геометрию этого никак нельзя было сказать. Ведь именно противоречие с привычными геометрическими представлениями нанесло решительный удар представлениям Демокрита. Даже деление отрезка пополам превращалось у него в почти неразрешимую проблему. Представьте себе отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Куда отнести среднюю неделимую — к правой или левой половине отрезка?
В обоих случаях получим неравные отрезки, и деление пополам окажется невозможным. Невозможно было бы разделить пополам и круг — центр круга отошел бы к одной из частей и она оказалась бы из-за этого больше другой части. Обычная геометрия справлялась с этим совсем просто — при делении отрезка пополам обе части снабжались концами, и никто не задумывался над тем, что из одной точки — середины отрезка — получились две. Геометры не воспринимали отрезок как множество точек. Их интересовала лишь длина этого отрезка, а от прибавления или отнимания одной точки длина отрезка не меняется.
И все-таки, пользуясь атомистическими представлениями, Демокрит сумел решить трудные математические задачи. В частности, это именно он нашел выражение для объема пирамиды. Но, несмотря на все эти успехи, математики того времени встретились с неразрешимыми проблемами. Апории Зенона настолько противоречили повседневному опыту, что поставили перед математиками вопрос — а можно ли пользоваться в математических рассуждениях понятием бесконечного? Следовать за Демокритом им тоже не хотелось — не иметь возможности разделить отрезок пополам, считать пирамиду и шар шершавыми телами им не понравилось.
И математики изгнали неделимые из своей науки. Вместе с неделимыми из математики была изгнана и бесконечность. И вот Евклид, формулируя свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, выражается очень осторожно — «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел». Видите — «больше всякого предложенного количества», а бесконечно много или нет — об этом Евклид умалчивает. Он, как и все современные ему математики, старался избегать понятия бесконечности.
Отвергнув неделимые и бесконечные процессы, математики оказались в трудном положении — методы Демокрита, хоть и нестрого, но все-таки давали формулы для вычисления площадей и объемов. Теперь же пришлось разрабатывать новый способ вычисления геометрических величин, в котором бы ни звука не говорилось о бесконечности, о бесконечно малых, о неделимых. Такую процедуру создал в IV в. до н. э. Евдокс, разработавший метод исчерпывании (или, иначе, истощения), в котором некоторые видят предка современного метода пределов. Когда Евдоксу хотелось, на пример, доказать, что площади кругов относятся, как квадраты их диаметров, он сначала предполагал противное, — скажем, что отношение этих площадей больше отношения квадратов диаметров. А потом он строил такие многоугольники, что один из них был меньше другого, а площадь его оказывалась больше площади другого. Это противоречие доказывало ошибочность сделанного предположения.
Всем хорош был метод Евдокса, но у него был большой недостаток — сначала надо узнать, какой результат требуется доказать этим методом. А это можно было сделать лишь с помощью преданных анафеме методов Демокрита. В общем, гони бесконечность в дверь, она влетит в окно.
И лень бывает полезна
Впрочем, сама она, конечно, не влетит. Пронеслись века, и достижения древних греков были прочно забыты. О бесконечности если и вспоминали, то только в дебатах на тему: «Бесконечно ли количество ангелов, которое может поместиться на кончике иглы?». И лишь в XVI—XVII веках ученые стали вновь, несмотря на преследования инквизиции, придумывать инфитизимальные — то есть основанные на понятии бесконечно малого — математические методы.
И, вероятно, мы и не догадывались бы, насколько античные математики опередили средневековых, если бы не одно происшествие, случившееся уже в начале XX века. В 1906 году приват-доцент Петербургского университета Попандопуло-Керамевс нашел в библиотеке одного из иерусалимских монастырей какой-то богословский трактат. Так как в средние века пергамент был очень дорог, то обычно брали древние книги, смывали или стирали с них языческие тексты и писали житие какого-нибудь святого мученика. Того же происхождения была и рукопись, заинтересовавшая Попандопуло. Приват-доцент был весьма слаб в математике и не слишком заинтересовался остатками смытого текста (к счастью, монах, писавший трактат, поленился и только смыл текст, а не стер его). Он привел только маленькую выдержку из древней рукописи. Но для знаменитого датского историка математики Генберга этой выдержки оказалось достаточно, чтобы установить — монах смыл текст Архимеда.
Это было письмо к Эратосфену. В нем Архимед показывает, как пользоваться методом неделимых. Он разлагает цилиндры, конусы и шары на чрезвычайно тонкие кружочки, доказывает нужное ему положение для одного из них, отмечает, что вывод должен быть верен и для остальных, и, наконец, говорит совершенно запрещенную правоверным математикам фразу: так как тело все сложено из таких кружков и целиком заполнено ими, то утверждение верно для всего тела.
Но письмо Архимеда Эратосфену стало известно лишь в начале XX века. А серьезное, глубокое изучение бесконечных множеств, анализ понятия бесконечности, началось лишь в середине XIX века. Творцами математической теории бесконечных множеств были чешский ученый Б. Болтано (основной труд которого был, к сожалению, опубликован лишь через много лет после его смерти) и немецкий математик Георг Кантор. Любопытно, что оба творца теории бесконечных множеств были хорошо знакомы со схоластической наукой — Болтано был монахом, а Кантор владел казуистикой Талмуда. Но им удалось преодолеть пустоту схоластических словопрений и превратить теорию бесконечных множеств в важную часть математики.
Автор: Н. Виленкин.