Если загадку свернуть в спираль

Редчайший случай — открытие, сделанное от скуки. А было так. Один из крупнейших американских математиков С. Улам попал на лекцию, которая для него оказалась неинтересной. Взять и выйти — неудобно. Чтобы убить время, ученый на листике бумаги рисовал, что придет в голову. Бездумно он сделал сетку из рядов вертикальных и горизонтальных линий. Квадратики вызвали было у него мысль составить какой-нибудь шахматный этюд. Но он тут же отказался от этой затеи. Его рука как бы сама принялась вычерчивать спираль, начинавшуюся в центре сетки. Безо всякой целеустремленности математик начал нумеровать пересечения спирали с линиями сетки. Затем, тоже без всякой, казалось бы, задней мысли стал обводить кружочками все простые числа, которые ему попадались вдоль спирали. И вдруг ученому бросился в глаза поразительный факт: простые числа на его спирали обнаруживали склонность выстраиваться в шеренги.

— Что здесь поразительного? — можете вы спросить.

Услышав такой вопрос, любой математик посмотрел бы на вас с недоумением. Ведь простые числа (название их обманчиво!) — одна из наиболее сложных и неясных областей математики. Некоторые связанные с ними проблемы доступны даже пониманию ребенка, другие же настолько туманны, что самые мощные математические умы человечества до сих пор бессильны перед ними. Основная трудность в том, что простые числа расположены вдоль числового ряда произвольно, без всяких вроде бы закономерностей.

Что такое простые числа

Задайтесь вопросом: каково сотое по порядку простое число? Единственный способ найти ответ (если под руками нет таблицы простых чисел) — это начать составление ее самому и довести, по крайней мере, до сотого номера.

Для этого пользуются нехитрым методом. Надо идти вдоль числового ряда и вычеркивать все составные числа. Быстрее всего будут исчезать четные числа, потом делящиеся на 3, на 4 и так далее. В конце концов, останутся лишь такие, которые без остатка делятся лишь на единицу и на само себя. Их-то и называют простыми.

Разумеется, компьютер будет делать это куда быстрее человека. Однако и ему придется пользоваться тем же самым методом. Кстати, он предложен около двух тысячелетий назад александрийским геометром и астрономом Эратосфеном и в его честь называется методом «эратосфенова решета». Ведь он позволяет как бы отсеивать простые числа от составных.

Давайте присмотримся к тому, что остается в «решете». Обратите внимание: среди чисел там нередко попадаются так называемые близнецы — пары чисел, разность между которыми равна двум. Это, например, 11 и 13, 71 и 73, 209267 и 209269, 1000000009649 и 1000000009651.

Нетрудно догадаться об их «родословной». После удаления четных чисел в числовом ряду остаются одни близнецы — разность между соседними нечетными числами всегда равна 2. Дальнейшее «просеивание» устраняет, как правило, одного, а то и обоих «близнецов» пары, но некоторые пары оно не затрагивает. Правда, чем дальше идти по числовому ряду, тем реже они встречаются. Значит ли это, что после какой-нибудь пары «близнецов» больше не попадется? Увы, никто этого пока не знает.

Но вернемся к уламовской спирали. То, что вблизи центра ее простые числа выстраиваются в шеренги — это не так уж удивительно. Ведь все они нечетные, кроме двойки. Пронумеруйте квадраты шахматной доски по спирали, начав ее в центре, и вы обнаружите, что все клетки с нечетными номерами — одного цвета. Если вы возьмете 17 шашек (они будут представлять 17 простых чисел в ряду от 1 до 64) и разместите их на 32 нечетных клетках, то увидите, что они располагаются по диагоналям.

Но с удалением от центра спирали плотность простых чисел падает. На первый взгляд, шеренг теперь будет все меньше и меньше. Однако первый взгляд порой подводит. Вот почему Улам решил установить, как будет выглядеть спираль, вдоль которой лежат тысячи простых чисел.

Конечно, у него и в мыслях не было чертить такую спираль самому. К услугам математика были электронные устройства. И длиннющую таблицу простых чисел Уламу не нужно было составлять: есть объемистые справочники. Наиболее известен среди них справочник Лемера, выпущенный еще в 1914 году. Он насчитывает 664 580 простых чисел из числового ряда от 1 до 10 миллионов. А в Вычислительном Центре Лос Аламос имеется магнитная лента, на которой значатся 90 миллионов простых чисел. Правда, этот «справочник» могут читать только машины. Одной из них, вычислительному устройству «Маниак», Улам и «подсунул» эту ленту, поручив разместить их по спирали.

Поразительно, но эти прямые линии можно описать уравнением параболы. Например, последовательность чисел 5, 19, 41 и 71 описывается выражением х²+х+5, где х принимает значения 0, 1, 2, 3. Очень занятные вещи обнаруживаются, если начать спираль не с единицы, а с какого-нибудь другого простого числа. Скажем, с 17.

Числа на главной диагонали соответствуют выражению х²+х+17. Подобные формулы математики называют генераторами простых чисел. Кстати, эта формула была известна Леонарду Эйлеру. Она генерирует простые числа для всех значений х от 0 до 15. То есть, если мы продолжим спираль так, чтобы она заняла весь квадрат 16X16, то одна из его диагоналей будет полностью усажена простыми числами.

Наиболее «мощный» из найденных Эйлером генераторов простых чисел выражается формулой х²+41. Спираль для него надо вычерчивать начиная с числа 11. Оно генерирует последовательность простых чисел, которые целиком заполнят диагональ квадрата 40 X 40!

Эйлер находил эти формулы простым подбором. Спирали Улама — это уже какой-то шаг к пониманию «устройства» таких генераторов. Но многое тут остается неясным. Вот лишь некоторые из вопросов, какие возникают у математиков при разглядывании уламовских спиралей. Есть ли среди них содержащая прямую, которая составлена из бесконечного множества простых чисел? Имеется ли разница в средней плотности простых чисел вверху и внизу спирали, в правой части и в левой?

Не думайте, что интерес математиков к простым числам диктуется просто любознательностью. Ведь недаром магнитная лента с записью 90 миллионов простых чисел находилась у ученых Лос Аламоса — крупнейшего атомного исследовательского центра США. Кстати, сам Улам в основном занимался не отвлеченной математикой, а прикладной. Достаточно сказать, что в свое время он высказал предположение, которое привело его и Эдварда Теллера к мысли о возможности создать водородную бомбу.

Еще Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное множество. Доказательство такое красивое, что его стоит привести. Предположим, существует самое большое число Р, за которым идут лишь составные числа. Но если мы получим произведение 2Х3Х Х5Х7Х …ХР и прибавим к нему единицу, то результат тоже будет простым числом. В самом деле: на какое из чисел меньше Р его делишь, всегда оказывается остаток единица. Значит, мы получили простое число, которое гораздо больше Р. С ним можно проделать ту же процедуру, что и с числом Р. А результатом явится еще большее простое число. Логика подсказывает, что до самого большого простого числа никогда не доберешься.

Мы уже говорили, что по мере движения вдоль числового ряда простых чисел становится все меньше и меньше. И все труднее находить их в огромных безднах составных чисел.

Автор: Г. Макаревич.