Филдсовская премия по математике: как и за что присуждают

В прошлой статье, мы рассказали о том, почему в математике нет нобелевских премий, и также о том, что у математиков есть свой аналог нобелевской премии – Филдсовская премия, которая был учреждена канадским меценатом Джоном Филдсом, для математиков, сделавших выдающиеся открытия в этой науке. Сегодня же мы расскажем о том по каким критериям в целом присуждается Филдсовская премия.

Следуя заповеди Марии Кюри — в науке важнее что, чем кто,— начнем с тематики открытий. Сразу видно: половина премий присуждена за работы, посвященные многообразиям. Это действительно центральный объект современной математической науки.

Античные математики полагали, что миром правят числа; в эпоху Ньютона мир стали описывать с помощью функций (принимающих числовые значения); в наше время математическая вселенная состоит в первую очередь из многообразий (которые превращаются друг в друга с помощью функций).

Такая эволюция не случайна. Понятие числа использует лишь «арифметическую» часть естественного человеческого воображения. Функции богаче чисел, ибо их можно не только складывать и умножать друг на друга (как числа), но и рассматривать их графики,— при этом мобилизуется геометрическая интуиция, «которая бесценна, если ее не переоценивать». Наконец, понятие многообразия эксплуатирует и геометрическую, и арифметическую компоненты здравого смысла, и обе — в высокой мере.

Что же это такое — многообразие? Очень просто: геометрическая фигура, все точки которой равноправны. Например, окружность: видно, что каждую ее точку можно перевести в любую другую поворотом окружности. Тем же свойством обладает прямая (ее точки переводятся друг в друга сдвигами); но отрезок прямой и дуга окружности устроены иначе — у них есть по две концевые точки, не равноправные со всеми остальными. Кстати, слово «прямая» здесь не надо понимать по-школьному: к этому классу относят любую незамкнутую кривую, себя не пересекающую (например, параболу). Значит, окружность и прямая — многообразия, а отрезок и дуга — нет. Далее, ясно, что окружность нельзя превратить в прямую, не разрывая ее; но малый кусочек окружности — дугу — можно разогнуть, превратив в отрезок, малый кусочек прямой.

Следовательно, окружность и прямая — разные многообразия, но «локально» они устроены одинаково, то есть (на языке топологии) они имеют «одинаковую размерность», равную единице. Нетрудно определить и двухмерные многообразия — в их число войдут плоскость, сфера (поверхность шара), тор (поверхность бублика), разные кренделя, а также известная «бутылка Клейна». Можно также ввести многообразия больших размерностей — 3, 4…

Таков наглядно-геометрический подход к понятию многообразия. Есть и другой подход — через формулы; он не менее важен, ибо показывает, почему многообразия выскакивают из самых разных математических задач. Опять-таки начнем с примера: попробуем решить уравнение Х² + Y² = 1. Введем на плоскости две числовые координаты — X и У (как это делают в школе, когда рисуют график Y = Х²) и поищем на нашей плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют нашему уравнению. Оказывается, все эти точки лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. И это общий факт: совокупность всех решений «достаточно хорошего» уравнения графически составляет многообразие. А что будет, если уравнение «недостаточно хорошее»? На этот вопрос ответил Хидзуки Хиронака, филдсовский лауреат 1970 года; оказалось, что множество решений всякого уравнения есть проекция одного многообразия в другое.

Простейший пример проекции — тот белый узор в небе, который мы видим после выполнения фигур высшего пилотажа на большой высоте. Самолет, делая, например, мертвую петлю, не пересекает свой путь, но мы, глядя на его след, видим кажущиеся пересечения (отсюда и слово «петля»). Сам же путь самолета — несамопересекающаяся незамкнутая кривая в пространстве, то есть одномерное многообразие. Можно ли задать его одним уравнением, как мы задали окружность на плоскости? Нет, нельзя: одно уравнение в пространстве задает не кривую, а поверхность. Но вот система из двух уравнений — она действительно задает пространственную кривую.

Однако всякую ли кривую можно так задать? Об этой проблеме думал еще Декарт — безуспешно. Только через триста лет она приобрела четкую алгебраическую формулировку в гипотезе Жана-Пьера Серра — филдсовского лауреата 1954 года. Еще десять лет спустя Майкл Атья (лауреат 1966 года) указал верный путь к ее решению; но только в конце семидесятых годов математик Андрей Суслин сумел полностью решить эту древнюю задачу. Так непрост и неожиданно богат оказывается новый мир многообразий, если смотреть на него сквозь призму формул; этот подход называется алгебраической геометрией, и шесть Филдсовских премий венчают недавние успехи молодых математиков в этой области.

Вернемся теперь к первому — наглядно-геометрическому — пути в мир многообразий: это путь топологии, он также отмечен несколькими Филдсовскими премиями. Рене Том, Джон Милнор, Стефен Смейл, Сергей Новиков — что они сделали, за что удостоились высших математических наград? Все началось с так называемой «проблемы кобордизма»: спрашивается, при каких условиях многообразие размерности n будет границей другого многообразия — размерности (n+1)? Например, окружность ограничивает круг; сфера есть граница шара, тор — граница бублика, и даже бутылка Клейна ограничивает некое трехмерное тело. Есть и не ограничивающие многообразия: такова, например, «проективная плоскость» — одна из тех поверхностей, на которых реализуется неевклидова геометрия.

Как же решать эту задачу — отличить ограничивающие многообразия от не ограничивающих? Хочется действовать в лоб: составить список всех многообразий данной размерности, а в нем выделить ограничивающие. Но, увы, перечислить все возможные многоообразия удалось пока только в размерностях 1 и 2. Одномерных многообразий только два (прямая и окружность), а двухмерных очень много. Правда, самые важные из них — замкнутые поверхности — можно построить из деталей всего трех сортов — сферы, тора и проективной плоскости. Это позволяет решить проблему кобордизма в размерности 2.

Решение таково: назовем две поверхности кобордантными (то есть соограничивающими), если они вместе ограничивают трехмерное тело (как два основания — цилиндр). Оказывается, всякая замкнутая поверхность кобордантна либо проективной плоскости (и тогда она ничего не ограничивает), либо сфере — тогда она ограничивает трехмерное многообразие. Иначе говоря, есть только два разных кобордантных класса двухмерных многообразий. Сколько же таких классов будет в больших размерностях, хотя бы в размерности 3?

Никто в мире не знал ответа на этот вопрос в 1951 году, когда молодой, подающий надежды французский математик Рене Том попал в автомобильную катастрофу и оказался на полгода прикован к постели. Ни писать, ни рисовать он не мог; только воображение профессионального геометра было свободно, да помогала цепкая молодая память. В этом незавидном положении Том поневоле стал мысленно перебирать те задачи, которые ему давно не давали покоя. Была среди них и проблема кобордизма. Отчего же Тому вдруг показалось, что он мог бы ее решить? Что-то подобное он недавно читал… Конечно, это была свежая работа известного математика Л. С. Понтрягина! Там речь шла о вычислении того, что именуют «гомотопическими группами сфер» (не буду давать определения их — статья и так получается весьма сложная), очень важными для всей математики, да и для физики.

Например, первая из этих групп состоит из целых чисел. Из этого факта следует, например, что число корней любого алгебраического уравнения равно его степени. Следующая гомотопическая группа сфер состоит из двух элементов: именно с этим связано то обстоятельство, что в природе есть два главных типа элементарных частиц — бозоны (фотон, гравитон и другие) и фермионы (электрон, кварк и т. д.). Так что очень важно уметь вычислять гомотопические группы сфер. И вот Понтрягин придумал наглядно-геометрический способ такого вычисления — оказалось, что для этого надо решать проблему кобордизма для особых — «оснащенных» — многообразий. Такая неожиданная связь между гомотопическими группами сфер и кобордизмом многообразий привела Рене Тома к убеждению, что и общую проблему кобордизма надо решать в духе Понтрягина.

 Это Тому удалось: оказалось, что всякое трехмерное многообразие является границей четырехмерного, что четырехмерные многообразия распадаются на бесконечное число кобордантных классов. После выздоровления Тому понадобилось лишь несколько месяцев для письменного оформления своих результатов, которые быстро облетели весь математический мир. Это было в том же году, когда Крик и Уотсон расшифровали структуру ДНК, а Тенсинг и Хиллари взошли на Эверест… Через пять лет Рене Том стал филдсовским лауреатом.

Поразителен был резонанс работы Тома: молодые топологи как будто с цепи сорвались, вдруг уверовав, что настала пора рубить под корень древние великие проблемы, на которые за тридцать — сорок лет все привыкли смотреть с робким почтением. И проблемы рушились, как дубы. Молодой американец Стефен Смейл (человек быстрый, резкий, страстный) атаковал старую проблему Пуанкаре: как устроены «гомотопические сферы»? Эти загадочные многообразия имеют с обычной сферой одно общее свойство: если выколоть из гомотопической сферы одну точку, то весь остаток стянется в другую точку (так лопается мыльный пузырь — двухмерная сфера). В начале прошлого века Пуанкаре предположил, что этим свойством обладает только «обычная» n-мерная сфера, которая лежит в (n+1)-мерном пространстве.

Как же надо доказывать гипотезу Пуанкаре? Обычная сфера (поверхность глобуса) склеивается из двух полушарий, каждое из которых распрямляется в плоский круг — этот факт давно известен картографам. Хорошо бы доказать, что всякая n-мерная гомотопическая сфера склеивается из двух n-мерных шаров по их общему краю — экватору. А дальше надо проверить, что при любом способе склейки двух n-мерных шаров по их краю мы получим n-мерную сферу. Оба этапа этого пути были пройдены молодыми американскими математиками, но результаты получились разные. Стефен Смейл доказал, что всякая гомотопическая сфера достаточно большой размерности (n>5) склеивается из двух шаров. В малых размерностях — 1 и 2 — этот факт почти очевиден, а вот «средние» размерности 3 и 4 пока одолеть не удалось. Но оставим их в покое, в больших размерностях нас ждут куда большие неожиданности.

Оказалось, что, по-разному склеив два шара по их краю, мы можем получить разные гомотопические сферы. Этот факт случайно обнаружил Джон Милнор. Что он почувствовал при этом? Трудно угадать: Милнор — человек внешне совершенно невозмутимый; думает он, видимо, не быстро, но без ошибок и без робости и очень ясно пишет. Скорее всего, Милнор воспринял свое неожиданное открытие как вызов судьбы: если ты удовольствуешься достигнутым, то будешь просто автором одного блестящего наблюдения, а в историю математики войдет другое имя. Или же принимай вызов, расширяй свой маленький прорыв, угадывай закономерность, породившую эти странные гомотопические сферы, классифицируй их, чтобы перестал быть таинственным тот новый факт, о котором еще вчера никто не подозревал. Милнор справился с гомотопическими сферами. Оказалось, что в каждой размерности гомотопических сфер может быть лишь конечное число: 28 разных 7-мерных сфер, 8-мерных — только две, зато 11-мерных — 992 и т. д.

Эти числа, как вскоре оказалось, находят применение в квантовой теории поля, выступая в роли множителей в расчетах, касающихся скорости распада элементарных частиц. Милнор предложил способ явного построения всех этих чудищ и стал первым филдсовским лауреатом среди американцев в 1962 году. Смейл был награжден позже — в 1966 году.

Третий лауреат — Поль Коэн — совсем иного поля ягода. Он — логик, единственный логик, удостоенный премии Филдса. Столь же единствен в своем роде его результат: решение континуум-проблемы. Формулировка ее проста: существует ли множество, гораздо большее множества всех натуральных чисел, но гораздо меньшее, чем множество всех точек прямой? Что здесь значит слово «гораздо» — долго объяснять, но оказывается, что, например, множество всех рациональных чисел хоть и больше, чем множество натуральных чисел, но не «гораздо» больше. Континуум-проблема замучила еще своего изобретателя — автора теории множеств Георга Кантора; и позже немало математиков надорвалось в попытке ее решить.

Только Курт Гёдель сумел в 1934 году наполовину одолеть эту задачу: он доказал, что существование такого «промежуточного» множества нельзя доказать. Казалось бы, ясно: промежуточного множества нет; но доказать это не удавалось в течение тридцати лет. И вдруг гром с ясного неба: Коэн доказал, что существование промежуточного множества нельзя и опровергнуть. Это — повторение пресловутой истории с пятым постулатом Евклида: он независим от остальных евклидовых аксиом, и поэтому возможны многие разные непротиворечивые геометрии — Евклида, Лобачевского, Римана. Оказывается, возможны также разные непротиворечивые теории множеств — вместо одной, канторовой, как хотелось бы надеяться почти всем математикам. Да, трудная вещь основания математики, и грозными бывают там ответы на самые невинные вопросы…

Наконец, Гротендик — еще один лауреат Филдсовской премии. Это обычный гений с необычно трагической судьбой. В 1944 году его вывели из фашистского гетто в Голландии — полумертвого от голода подростка, ничего не помнившего о своей прежней жизни, забылось даже имя. Но личность мальчика не разрушилась в этом аду: сохранилось детское увлечение математикой, которое за годы страданий превратилось в пламенную страсть. Оказавшись на свободе, Александр Гротендик (это имя он получил от усыновителя- голландца) быстро вошел в число самых «работящих» и результативных математиков. Он обладает той редчайшей и ценнейшей для ученого способностью к созданию новых наук, которая отличала Давида Гильберта и Анри Пуанкаре.

Правда, круг интересов молодого фанатика более узок — только алгебраическая геометрия, зато здесь он может все. Может использовать самые тонкие и «заумные» факты из теоретико-множественной топологии и из теории чисел; может внести огромный вклад в К-теорию или в гомологическую алгебру — раз они ему понадобились. Это особый талант: скрещивать самые вроде бы отдаленные научные понятия, да так, что их гибриды получаются работоспособными, и не только применительно к алгебраическим многообразиям. Не зря говорят: самое трудное и полезное в математике — вводить новые определения, вытекающие из существа дела. Вот в этой методологической работе Гротендику нет равных, оттого главный его труд — «Элементы алгебраической геометрии» — в фольклоре именуют не иначе, как «Евангелием от Гротендика».

Почему, в самом деле, природа «говорит с нами на языке математики», а не на некоем своем языке с использованием математических слов? Не потому ли, что математика есть именно тот единственный язык, на котором мы спрашиваем природу о всевозможных связях между ее феноменами (сами же феномены описываются на языках «естественных» наук)? В этом случае мы способны услышать только те ответы природы, которые она даст нам на математическом языке, единственно понятном для нас. И тогда становится очевидным сохраняющееся «неизвестно, почему» единство математики (которая давно уже перешла из «централизованного» состояния в «федеративное») — это на самом деле прямое отражение единства изучаемой нами природы. В итоге мы получаем новый удобный признак жизненности любой математической теории: это ее комплексность. Если новый результат получен с применением нескольких разных идей и фактов из отдаленных областей науки, это гарантия его высокой общенаучной значимости и свидетельство того, что он отражает действительно глубокую природную связь.

Именно такие работы справедливо награждаются сейчас и Нобелевскими, и Филдсовскими премиями. Система Филдса имеет, конечно, свои недостатки: устав премии не предусматривает награждения группы математиков за совместно полученный результат — в итоге многие замечательные математические открытия последних лет не отмечены высшими наградами. Немало также работ, влияние которых в смежных областях математики стало заметно лишь после того, как их авторы перешагнули сорокалетие. Есть и другие минусы — всякая система наград имеет их, и лучше других та, при которой можно случайно не получить премию, но нельзя случайно получить ее. Этому условию Филдсовские премии удовлетворяют, и влияние их на развитие математики в наши дни велико и благотворно. Нет, не так уж много бедствий соделал математикам ревнивый Нобель, когда отомстил своему удачливому сопернику!

Автор: С. Смирнов, кандидат физико-математических наук.