Нерешенные математические задачи

Решение трудной математической проблемы можно сравнить со взятием крепости. Падению математической крепости обычно предшествует длительная и упорная осада. Сначала разведываются пути подхода к цитадели — возможные пути решения. Потом одна за другой захватываются позиции, прикрывающие подступы к проблеме. (Во многих случаях для взятия крепости приходится использовать совершенно новую технику — разработать не встречавшиеся до сих пор математические методы.) После этого начинается штурм. Он приводит к падению некоторых фортов — решению части из случаев изучаемой проблемы, выяснению их связи друг с другом. Это позволяет понять общий план крепости, а тогда уж не устоять и ключевым позициям. Наконец, наступает счастливый день – крепость взята, проблема решена.

После падения очередной математической крепости начинается период быстрого продвижения вперед: одна за другой решаются большие и малые задачи, выявляются совершенно неожиданные связи, отыскиваются важные практические применения. Разумеется, это продвижение не бесконечно — вновь созданные методы оказываются недостаточными для решения новых задач, сама постановка которых была невозможна до решения проблемы: на пути наступающих войск встают новые бастионы.

Разумеется, не всегда решение проблемы протекает так, как было описано выше. Иногда падение крепости является результатом прорыва на другом, далеком участке математического фронта. После такого прорыва можно подняться на высоты, с которых вся крепость видна, как на ладони, а тогда легко составить план ее штурма.

Но если в истории военных действий неизвестна ни одна крепость, которая выдержала бы осаду более десяти лет, то в математике есть нерешенные проблемы, над которыми думают уже свыше двух тысяч лет. Причем зачастую эти проблемы формулируются настолько просто, что понять их может школьник шестого класса.

Одна из самых старых нерешенных задач связана с совершенными числами. Так называют числа, которые равны сумме всех своих делителей (включая единицу, но исключая само число). Например, совершенными числами являются числа 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 и другие. Существует правило для отыскания всех четных совершенных чисел. Если 2^p — 1 это простое число, то 2^p-1 совершенное число. Других четных совершенных чисел нет. Но до сих пор никто не знает, есть ли хоть одно нечетное совершенное число. Все подсчеты, сделанные и в компьютерах, не привели к открытию таких чисел. В то же время пока отсутствует и доказательство того, что таких чисел нет.

Много усилий было затрачено на решение других задач, также восходящих к древнегреческой математике,— задач о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу (задача о квадратуре круга), и о делении произвольного угла на три равные части (задача о трисекции угла). Все усилия, направленные на решение этих задач, не привели к цели. Наконец, в прошлом веке было доказано, что какие бы сложные построения мы ни делали, какие бы линии и окружности ни проводили, превратить круг в равновеликий квадрат или разделить произвольный угол на три равные части не удастся. Чтобы прийти к такому результату, понадобилось многовековое развитие математического анализа и теории алгебраических уравнений, понадобился совершенно новый подход к математике — для греков сама идея, что можно доказать невозможность решения какой-то задачи, была глубоко чуждой.

Хотя уже давно доказана невозможность решения задач о квадратуре круга и о трисекции угла, в математические учреждения разных стран до сих пор приходят письма с «решениями» этих и других неразрешимых задач. Авторы подобных «работ» обладают весьма слабыми знаниями по математике и совершенно не воспринимают критику их «деятельности».

Великая теорема Ферма

А вот с так называемой великой теоремой Ферма дело обстоит сложнее. Французский юрист Пьер Ферма (1601—1665) на досуге занимался теорией чисел и получил ряд важнейших результатов. Он не записывал своих доказательств, поэтому после смерти Ферма многие полученные им результаты пришлась доказывать заново. Это удалось сделать почти для всех теорем Ферма (одно предположение оказалось неверным), но одна теорема не поддалась усилиям математиков. А среди них были замечательные ученые, например, Леонард Эйлер. Формулировка этой «неподдающейся» теоремы очень проста. Если натуральное число n>2 то уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ нельзя решить в целых положительных числах (при n=2 такие решения существуют, например, x=3, y=4, z=5)

Многие математики-любители посвятили всю свою жизнь попыткам доказать эту теорему. Один из них, некто Вольфскель, даже завещал большие деньги — 100 000 марок тому, кто решит проблему Ферма. Это вызвало новый поток работ. Их присылали инженеры, учителя, священники, банкиры, светские дамы и т. д. Решения были самыми разнообразными, и лишь одна черта их объединяла — полное невежество в области математики, непонимание всей сложности проблемы. О деятельности ферматистов среди математиков ходят самые разные легенды. Рассказывают, например, что один ферматист прислал в Академию наук такую телеграмму: «Решил проблему Ферма! Основная идея — перевести zⁿ в левую часть равенства. Подробности письмом».

Разумеется, проблемой Ферма занимались и серьезные математики. Им удалось доказать, что утверждение Ферма справедливо для всех n

Исследования по проблеме Ферма привели к развитию важной области математики — теории целых алгебраических чисел. Еще до первой мировой войны Геттингенское математическое общество дважды присуждало поощрительные премии за продвижения в области проблемы Ферма. Однако сейчас математический интерес проблемы Ферма невелик — она стоит в стороне от главных путей развития математики.

Проблема Ферма — не единственная нерешенная проблема в теории чисел. До сих пор неизвестно, например, бесконечно ли множество натуральных значений n, при которых 2ⁿ+1 — простое число. Неизвестно, является ли каждое четное число суммой двух простых чисел. В 1937 году академик И. М. Виноградов доказал, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел. Однако граница, начиная с которой выполняется утверждение Виноградова, настолько велика, что один математик назвал ее в шутку выходящей за пределы Галактики — число атомов в Галактике неизмеримо меньше этого числа. Неизвестно, является ли каждое достаточно большое натуральное число суммой простого числа и квадрата натурального числа.

Вероятно, читатель может поставить вопрос, а нужны ли решения этих проблем, не относятся ли они к числу таких, о которых говорят «семь лет мак не родил, и то голода не было». Надо сказать, что сомнения в практической значимости теории чисел высказывали и многие весьма видные ученые. Рассказывают, например, что однажды знаменитый кораблестроитель академик Ш. Н. Крылов, выступая на чествовании одного известного специалиста в области теории чисел, произнес следующую речь: «Глубокоуважаемый NN, когда я закончил Морскую академию, мой незабвенный учитель Александр Николаевич Коркин спросил меня:

— Не хотите ли вы, Алексей Николаевич, заняться теорией чисел?
— Какие же там проблемы? — спросил я его, в свою очередь.
— А вот возьмите число 2n+1 , выясните, когда оно простое, а когда составное, и прославитесь на весь мир.
— Мне для практики безразлично, простое оно или составное,— сказал я Коркину и не стал заниматься теорией чисел.

А вы, глубокоуважаемый NN, стали заниматься теорией чисел и прославились на весь мир.

Не знаю, правдива ли эта история; ведь об Алексее Николаевиче Крылове рассказывают многое. Но если она верна, то следует признать, что знаменитый кораблестроитель ошибся. Сейчас методы и результаты теории чисел стали применяться в таких практически важных вещах, как создание помехоустойчивых кодов, при изучении шифров, при исследованиях некоторых вопросов теории вероятностей, при приближенном вычислении интегралов и т. д. Да и вообще, весьма рискованно предсказывать, насколько важными для практики окажутся те или иные исследования. Еще сто лет тому назад работы по математической логике казались наиболее оторванными от каких бы то ни было практических приложений. А теперь эти работы легли в основу информатики и программирования, теории автоматов и многих других чисто технических дисциплин.

Но не только в практической значимости работ по теории чисел суть дела. При решении этих иногда действительно далеких от практики вопросов оттачивается математическая техника, разрабатываются новые методы, которые затем находят применение в совсем иных исследованиях. Например, методы, использованные в конце XIX века Адамаром и Балле-Пуссеном для исследования распределения простых чисел, позднее легли в основу теории целых функций комплексного переменного, имеющей ряд важнейших практических приложений (скажем, в квантовой механике). Поэтому математики всегда проявляют интерес к «несдавшимся крепостям».

В 1900 году на Втором международном математическом конгрессе в Париже один из крупнейших математиков XX века, Д. Гильберт, выступил с докладом о нерешенных математических проблемах. Он поставил в нем 23 проблемы, решение которых должно было сопровождаться существенными продвижениями в тех или иных областях математики. Большинство этих проблем уже решено, причем зачастую их решение сопровождалось построением совершенно новой математической теории.

Так, в 1934 году математик А. О. Гельфонд решил седьмую проблему Гильберта, показав, что если а — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а Р — иррациональное алгебраическое число, то аР не является алгебраическим числом, то есть не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Откуда возникают новые математические проблемы? Часть из них появляется внутри самой математики. Но особенно много нерешенных задач встает на границах математики и прикладных дисциплин. Часто физику, механику, инженеру удается получить решение стоящей перед ним проблемы с помощью смелой гипотезы и нестрогих методов. Это решение дает результаты, близкие к полученным экспериментально, но исследователь не чувствует себя полностью удовлетворенным; слишком необоснованны примененные методы.

Таких примеров много в аэродинамике, в квантовой электродинамике, в других областях науки. Например, около ста лет назад известный ученый Л. Прандтль пришел к выводу, что между движущимся телом и окружающим его газом существует тонкий пограничный слой, обладающий особыми свойствами. Сейчас с пограничным слоем имеют дело все конструкторы самолетов и ракет. Раскаленный до 10 000°С пограничный слой наблюдали летчики-космонавты при возвращении корабля в атмосферу. Число работ, посвященных пограничному слою, достигает нескольких тысяч. Но до сих пор никому не удалось вывести существование пограничного слоя из уравнения движения вязкой жидкости (или газа). Слишком сложны эти уравнения, слишком велики математические трудности их исследования.

Многие десятилетия физики пользуются при расчетах так называемой теорией возмущений, которая позволяет разложить исследование того или иного явления на сравнительно простую основную часть и подсчет поправок, вызываемых теми или иными осложняющими обстоятельствами. Точность полученных результатов очень велика, иногда она превышает достигнутую точность эксперимента. Но математики умеют обосновывать теорию возмущений лишь в узком классе случаев, совершенно недостаточном для надобностей физики. Не зря один известный математик сказал; «Книга по квантовой механике — это замечательный сборник задач по функциональному анализу. Только задачи в этом сборнике сформулированы не совсем обычно — словами «поэтому», «отсюда следует», «как легко видеть» и т. д.».

Действительно, обоснование многих вещей, которые физикам кажутся очевидными, требует сложнейших математических исследований. Впрочем, убежденность физиков в правильности своих выводов понятна: они могут проверить их экспериментально. Нерешенные задачи есть даже в математических вопросах небесной механики — Одной из самых старых областей математического естествознания. Еще Ньютону удалось до конца решить задачу о движении двух тел, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения. Однако уже для трех тел окончательного решения подобной задачи нет до сих пор, хотя этой проблемой занимались многие видные математики, астрономы и механики. Еще хуже обстоит дело с «задачей многих тел», например, с изучением движения планет Солнечной системы. Конечно, используя численные методы расчета, легко определить положение планет на ближайшие сто, двести и даже тысячу лет. Но вычисления не могут ответить на вопрос, устойчива ли Солнечная система. Ведь теоретически взаимное притяжение планет может настолько нарушить правильность их движения, что через триллионы лет планеты либо упадут на Солнце, либо уйдут в межзвездное пространство.

Для изучения вопросов устойчивости были созданы различные математические методы. Большой вклад в эту область науки внесли механик А. М. Ляпунов, математик А. Пуанкаре и многие другие. Однако основные трудности в проблеме устойчивости Солнечной системы им не удалось преодолеть: слишком велики были осложнения, связанные с так называемой проблемой малых знаменателей. Дело в том, что частоты движений некоторых больших планет почти соизмеримы. А ведь чем меньше знаменатель, тем больше соответствующее слагаемое, тем большее возмущение вносят эти планеты во взаимное движение.

Несмотря на длительные усилия многих математиков, не удалось справиться с трудностями, связанными с проблемой малых знаменателей. Лишь сравнительно недавно немецкому ученому К. Зигелго удалось получить значительные результаты в этом вопросе.

Автор: Н. Виленкин.