Парадокс Кондорсе
Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком
Три друга решают, как им провести вечер. Один предпочитает театр, другой — кино, третий — цирк. Но никто на своем особенно не настаивает, согласен, на худой конец, пойти с друзьями куда угодно. Тем более, что они не знают, куда легче достать билеты. Андрей предлагает такой маршрут: сначала к кассам театра, потом кино, а затем цирка. Борис считает иначе: цирк, театр, кино. Пожелание Вадима: кино, цирк, театр. Ну что же, придется решать голосованием. Куда захочет большинство, туда все и пойдут.
Итак, театр или кино? Андрей и Борис отдают предпочтение театру, только Вадим — кино. Двумя голосами против одного театр одерживает верх над кино. Кино или цирк? Андрей и Вадим больше склонны пойти в кино, Борис — в цирк. Большинством голосов выбирается кино.
Цирк или театр? Двумя голосами против одного принимается решение пойти в цирк. Вы уже заметили, наверное, что голосование ничего не дало. Не ясно, чего же хочет большинство. Идти в кино? Однако за театр было ведь отдано больше голосов. Тогда — в театр? Но за цирк высказалось больше, чем за театр. В цирк пойти? Результаты голосования показали, что большинство отдает предпочтение не цирку, а кино. Словом, получился замкнутый круг.
Странному парадоксу, возникающему при подсчете голосов за и против, французский философ и математик Кондорсе посвятил в 1785 году обширное исследование. Вот еще пример парадокса, названного именем этого математика.
60 депутатов парламента должны выбрать себе председателя из трех кандидатур. Для простоты обозначим их первыми буквами фамилий: А, Б и В.
Обычно тайное голосование в таких случаях производится следующим путем: каждый депутат пишет фамилии кандидатов в порядке их предпочтительности для него. У нас возможны шесть комбинаций: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Приводим пять из них. 23 голоса — за последовательность АБВ, 2 голоса — за последовательность БАВ, 17 голосов — за последовательность БВА, 10 голосов — за последовательность ВАБ, 8 голосов — за последовательность ВБА.
Выходит, А предпочтительнее Б для 33 депутатов, Б предпочтительнее А для 27 депутатов, Б предпочтительнее В для 42 депутатов, В предпочтительнее Б для 18 депутатов. И, наконец, В предпочтительнее А для 35 депутатов, А предпочтительнее В для 25 депутатов.
Иными словами, А более подходящий большинству кандидат, чем Б, Б более подходящий, чем В, а В более подходящий, чем А.
Мы опять очутились в замкнутом кругу. Исход голосования непонятен, снова парадокс Кондорсе. Статистика показывает, что этот парадокс возникает в 6—9 случаях из 100 голосований по системе предпочтительности. Поискам выхода в подобных ситуациях посвящено немало математических исследований. Но пока все безрезультатно.
Автор: Г. Макаревич.