Парадоксы математики
Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком
Математика столь же естественна, как речь, ремесло, музыка или умение человека обрабатывать землю. (Г. Штейнгауз).
Математика. Непосвященные обычно замечают раскидистое дерево математических теорий и созревшие плоды — доказанные утверждения. Математиков очень заботят корни «древа математических знаний». Ведь фундаментальная часть математики построена сейчас на теоретико-множественной основе, в которой обнаружены парадоксы. Один из этих парадоксов его «автор», Бертран Рассел, часто излагал в такой популярной форме: парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреют себя сами. Парадоксально, но на вопрос: «Бреет ли парикмахер себя?» — ответить невозможно. Иначе говоря, парикмахер не может принадлежать ни множеству жителей деревни, которые бреются сами, ни множеству тех, кто сам не бреется.
Теперь ясно, что за невинным и даже чем-то привлекательным словом «парадокс» кроется противоречие. В теории множеств содержатся противоречия, стало быть, сама она противоречива. А как же те ветви, которые растут из нее? И какие плоды могут дать столь противоречивые корни?
Математики не пользуются словами «корни», они говорят «основания». Основания математики — это набор априорно принимаемых допущений, из которых строго логическим путем возводится все математическое здание. Парадоксы теории множеств знаменуют собой кризис оснований математики.
Это не первый кризис в истории древнейшей из наук. И надо сказать, что все предыдущие были плодотворными. Так было в III в. до н. э., когда отвергли эстетические догмы, привнесенные в математику Пифагором. Так было и совсем недавно — в начале XIX века, когда зашел вопрос о спасении созданного Ньютоном и Лейбницем математического анализа. Но приятно воспоминание о преодоленном кризисе, а наш век пока даже не указал путь, идя по которому можно было бы выйти из нового кризиса. Все попытки спасти положение до сих пор оказываются недостаточно радикальными.
Есть ли вообще способы выхода из кризиса. Да. И не один, а два. Первый — это пересмотр аксиоматики. Только в самом конце позапрошлого века ученые в полной мере оценили, насколько бывает удобен отказ от некоторых аксиом или замена их другими! Еще лет полтораста назад считалось вполне правомерным, что в математических аксиомах закостенели наши представления о мире. Вот почему никто из математиков (кроме великого Гаусса) так и не понял Лобачевского и Бойяи, которые заменили постулат Евклида о параллельных его отрицанием.
Второе направление поисков — это приближение математики к нуждам практики. Но бывает, что среди творцов развивающейся теории преобладают противники такого сближения. «Я не для того занимаюсь математикой, чтобы ее применяли к строительству домов», — сказал один из них.
Сторонникам таких взглядов прекрасно возразил Джон фон Нейман: «При появлении того или иного раздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признаки перерождения в барокко, это следует расценивать как сигнал опасности… При наступлении этого этапа единственный способ исцеления состоит в том, чтобы возвратиться к источнику и вспрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи».
Два выхода из кризиса оснований… Это значит, что входящий в математику оказывается на распутье. Обе дороги ведут вперед, во славу науки. Но какие же они разные! Одна углубляется в стройные посадки философии математики — здесь даже переплетения ветвей подчинены логическим закономерностям. Другая соединяет буйную чащу математических теорий с огромным городом из тысяч пыхтящих механизмов, а между городом и чащей — «ничейная земля», на которой кому-то суждено вырастить кустик, а кому-то — целую рощу. Если молодой математик задумывается над путями развития своей науки, то ему предстоит в самом начале профессиональной деятельности выбрать свою дорогу.
Правда, не всегда он осознает, что стоял на распутье. Наибольших успехов, как правило, добивается тот, для кого занятия наукой — продолжение его духовной жизни, чьи научные интересы гармонично вытекают из свойств его личности.
Автор: А. Войскунский.