Под знаком интеграла – математическая пьеса

Математика сейчас пропитывает все разделы знаний. Уже и лингвисту, и физиологу, и историку не терпится заполучить ее в свой арсенал. Но находятся скептики, которые не склонны шагать в ногу. Скептицизм, дух сомнения,— жизненный сок науки. Без него даже самое перспективное и яркое научное направление быстро вырождается в затхлый мелкий водоем, где все поочередно воздают хвалы друг другу, стараясь не замечать, что жизнь мчит независимо от них. Желчный и еретичный скептик не милует никого и ничего, даже математике достается от него. Легче всего раз и навсегда признать в скептике завистливого невежду и более не ронять себя спором с ним. Куда труднее и полезнее принять, что даже самый злокозненный и злопыхательский скептик науке полезнее миролюбивого легкодума. Поэтому не будем лишать скептика слова, даже если речь его перестанет ласкать слух.

Место действия — буфет научно-исследовательского института. Слева — кофеварка с очередью, справа на стене — график зависимости продолжительности жизни от числа выкуриваемых сигарет. На переднем плане сидят за столиком Математик и Скептик.

МАТЕМАТИК (помешивая кофе): —Ты уже читал? Сенсация! Удалось доказать неразрешимость проблемы Дьюи-Измара.

СКЕПТИК (закуривая): — Не читал и читать не буду. Во-первых, я там ничего не пойму — это, кажется, входило в намерения автора. А во-вторых, мне это не нужно: наука может развиваться и без этого доказательства. Разве что какой-то сноб сошлется на эту работу, чтобы проявить эрудицию. Сколько их сейчас расплодилось! Вот тебе докторская диссертация, только что утвержденная ВАКом; автор явно не в ладах с элементарной алгеброй, но это не мешает ему, поминая всех математических святых, храбро строить научные теории и мнить себя где-то рядом с Винером. А кто его союзник? Псевдоматематическая фразеология, которой начинена работа и которая производит впечатление на непосвященных.

МАТЕМАТИК: — Погоди, причем тут математика? Мне тоже известны такие случаи, но поверь, именно благодаря математике любой специалист может тут же разоблачить такую поделку.

СКЕПТИК: — Но ты же не разоблачил.

МАТЕМАТИК (рассеянно): — Вот еще! Досуг мне разбирать вины какого-то… Есть немало примеров подлинно научного использования достижений математики.

СКЕПТИК (иронически):- Вот как? Приведи.

МАТЕМАТИК (неуверенно): — Ну, например, расчет движения космического корабля.

СКЕПТИК: — Давай договоримся считать математикой лишь то, что выработано последней за столетие. Что касается траектории материальной точки, то ее в принципе умели рассчитывать еще в XVIII веке. Правда, сейчас это делают гораздо проще и быстрее с помощью компьютера, но это достижение не математики, а электроники.

МАТЕМАТИК (ехидно): — А как насчет анализа прочности корпуса космического корабля? Уж он-то, этот расчет, Эйлеру был определенно не под силу.

СКЕПТИК: — Увы, и в этой задаче мы недалеко ушли от старика Эйлера. Инженеры, проектирующие сложные летательные аппараты, подобно кораблестроителям времен Эйлера, куда больше доверяют опыту, чем расчету. В расчете конструкций на прочность вы, математики, немного дали практике. Вот что пишет американский инженер Пармли (Скептик раскрывает лежащую рядом с пепельницей книгу и читает): «Искусство специалиста по расчету конструкций состоит в том, чтобы исследовать твердое тело, конфигурация которого нам в точности не известна, на действие нагрузок, о которых мы не имеем представления, из материалов, физические свойства которых для нас загадка, причем сделать это так, чтобы у широкой публики не зародилось никаких сомнений». И математика помогает в этом искусстве, ибо избавляет расчет от угрозы проверки.

МАТЕМАТИК: — Ну, это ты хватил: теория упругости — одно из главных приложений математики, которым математика по праву гордится. Сколько глубоких и тонких построений сделано, скажем, чтобы описать распределение напряжений вблизи конца трещины. Или, скажем…

СКЕПТИК: — Вот-вот, конца трещины… То есть для простейшей модельной задачи. А трещина обычно бывает не одна, трещины переплетаются между собой и проходят по неоднородному материалу, да еще и развиваются во времени… Конечно, существуют теории, которые учитывают эти эффекты. Но вот парадокс — в таких теориях используются самые элементарные математические средства, почти умещающиеся в школьный курс. А где приложения математической мысли последнего времени?

МАТЕМАТИК: — Я мог бы поспорить с тобой, доказать, что последние достижения математики используются в теории разрушения, но лучше я изберу иной путь. Кстати, он покажет, насколько многообразны приложения математики. Возьмем совсем другой пример: экономика. К примеру, линейное программирование, появившееся каких-нибудь сорок лет назад, способно дать оптимальное распределение ресурсов в масштабах больших экономических систем.

СКЕПТИК: — Если я начну копать эту область, то придется вытащить на свет немало стыдливых недомолвок. Дело в том, что нам пока не ясно, что понимать под оптимальным распределением. То есть неизвестно, что мы ищем. А это, согласись, несколько снижает радость от находки. Есть к линейному программированию и другие претензии. Например, та, что для решения задач экономики с его помощью требуются буквально полчища цифр, горы входной информации. И ни одну из них мы не умеем установить в точности. А метод решения задачи устроено так, будто каждое из чисел в задаче известно нам с абсолютной точностью. Так что на практике экономисты до сих пор пользуются самой примитивной схемой: подсчитывают стоимости двух вариантов и выбирают, какой дешевле.

МАТЕМАТИК: — Я могу привести тебе примеры конкретного производственного эффекта, полученного с помощью линейного программирования. Например, в задачах раскроя материалов. Просто уже прошла пора повального увлечения линейным программированием. Кроме того, были разработаны новые, более эффективные в некоторых случаях средства. Скажем, метод случайного поиска. Но это не дает тебе повода для злорадства: процесс обновления научных методов — это естественный процесс. И он нисколько не бросает тени на науку.

СКЕПТИК: — Что-то неладно получается: появился новый научный метод, который сменяется еще более новым. Старый кумир свержен, публика рукоплещет новому и возлагает на него надежды. «Уж он-то не подведет!» Между тем печальный опыт мог бы научить более трезвой оценке.

МАТЕМАТИК: — Слушая тебя, заподозришь, что тысячи автоматизированных систем во всем мире — это блеф. Что не эти системы управляют производством, рассчитывают и печатают сметы, подсчитывают итоги выборов и спортивных состязаний, планируют капитальные вложения, производят банковские операции и прочее, и прочее.

СПЕКТИК: — Отчего же? Не блеф! Все это действительно делается. Но разберем по порядку, начав со спортивных состязаний. Невелика мудрость сложить очки и поделить их на число судей. Просто машины делают это мгновенно и точно, но математика здесь ни при чем. Сметы? Это выборка нормативов, умножение и сложение; но главное — выборка нормативов — к математике не имеет касательства. Банковские операции? Немногим сложнее: к сложению и вычитанию добавляется расчет сложных процентов. А если в АСУ и доводится что-нибудь рассчитать посерьезнее, например, найти расписание с минимальными простоями, то опять-таки делают это без всяких там математических премудростей, а с помощью самых простых и нестрогих, так называемых «эвристических» правил и алгоритмов. Правил, которые вы, математики, не соглашаетесь даже допустить в прихожую математических знаний.

МАТЕМАТИК (раздражаясь): — Ты, как водится среди критиканов, изрядно отстал от жизни: математика уже занимается изучением эвристики, нестрогих алгоритмов, нечетких множеств, искусственным разумом и прочими вещами, которые ты смело вынес за ее рамки.

СКЕПТИК: — Вот именно, уже занимается. Ты не смог обойтись без этого слова. После того, как эти приемы счета были предложены практиками, многократно использованы и дали эффект, математика берется за то, чтобы выстроить из них цепочки теорем, навести академический глянец и изложить на том наречии, которое вы зовете строгим математическим языком. Математики со своей страстью к формализации, таким образом, ПОЛЬЗУЮТСЯ здравым смыслом, присущим физикам и инженерам, химикам и экономистам. Сошлюсь на примеры только из одной области — вариационных методов для решения краевых задач, которые служили главным инструментом для обработки дифференциальных уравнений до появления компьютеров.

Главные методы в этой области — методы Тимошенко, Бубнова-Галеркина, Треффтца — чисто инженерные методы. Их изобрели инженеры, а лишь затем математики принялись их обосновывать. Кстати, знаменательно, что к моменту полного и всестороннего обоснования эти методы уже устарели и сменились другими, которые «лучше ложатся на машины». Так что период активного использования этих методов фактически прошел без участия математиков. Кажется, то же самое ждет и наиболее популярный сейчас среди инженеров метод решения краевых задач — метод конечных элементов.

МАТЕМАТИК: — И тут у тебя передергивание. В разработке вариационных методов большую роль сыграли математики — например, Канторович и Курант. Кроме того, твое противопоставление инженеров и математиков вообще неправомочно: инженеры, которых ты назвал, блестяще, на уровне лучших математиков владели всеми математическими методами. Для многих из них вообще невозможно сказать, кто он, инженер или математик.

СКЕПТИК: — Владеть-то они владели, но все ж на первом месте для них стояло решение задачи, и они не затрудняли себя обоснованием методов. Так же поступают и современные прикладники. И наоборот, математики, которых ты назвал, и еще несколько имен представляются мне исключениями. В то время как большинство математиков изнуряют свои плоть и дух бессмысленными упражнениями в формальной логике или зашифровывают по непонятному доступные всем построения физиков и инженеров.

МАТЕМАТИК: — Крупнейшие математики никогда не чурались приложений. Возьми такого гиганта, как Гильберт. В свой знаменитый перечень важнейших математических задач он включил проблему № 6: «Аксиоматизировать те физические науки, в которых важную роль играет математика». Это значит, что механика и теория электричества, подобно геометрии, должны предстать в виде ряда умозаключении, стройно вытекающих из нескольких аксиом. Гильберт и сам приложил немало сил к решению этой проблемы, хотя кое-кто досадовал на такое отвлечение.

СКЕПТИК: — Не забудь добавить, что попытка Гильберта окончилась неудачей, в дальнейшем большинство физиков отвергли аксиоматический подход. Таким образом, великий Гильберт своим экскурсом за рамки математики лишь пополнил плеяду теоретиков, которые, по образному выражению М. В. Ломоносова, «натуральную науку больше помрачили, нежели свету ей придали».

МАТЕМАТИК: — Подобно многим невеждам, ты самоуверен. Тебе кажется лишенным смысла все то, чего ты не понимаешь. Ты не понимаешь так называемой «чистой математики» и готов клеймить ее только за это. Но вспомни, что считают авторитеты: каждый нетривиальный математический факт адекватен какому-либо материальному явлению, служит его формальным описанием. Не беда, если мы не можем сразу же найти физическое или общественное явление, отвечающее какой-либо теореме. Надо иметь терпение и ждать — оно найдется. Вспомни, например, теорию обобщенных функций. Она представлялась абстрактной. А между тем в квантовой механике нашелся объект, который такой функцией описывается.

Какое-то время представлялась абстрактной топология — это даже отразили в художественной литературе. А потом выяснилось, что во многих случаях при анализе электрических сетей без нее — никуда. Теория групп — пустая абстракция, никакой связи с миром вещей. А что бы теперь без нее делали специалисты по кристаллографии? Так что основная схема открытия сейчас в прикладных науках такая: математик строит абстрактную теорию, а грамотный прикладник, а то и математик, применяет ее.

СКЕПТИК: — И тут ты не прав. Обобщенные функции физики стали применять задолго до того, как математики наложили на них лак. То же случилось и с топологией. А математики потом развили эти теории, как сказал один видный механик, «далеко за рамки необходимости» уже в виде упражнения в своем странном и малодоступном спорте. Нет, есть простые приемы счета, придуманные прикладниками, и отдельно существует некая заумь, которая носит чисто декоративный характер. Именно ради нее, а не ради дела, обращается прикладник к математику и просит: «Слушай, мне тут надо математики подкинуть. Сам знаешь, сейчас это любят…»

МАТЕМАТИК: — Циники есть в любой области науки. Но из этого ровным счетом ничего не следует. Между прочим, математика — невыигрышное поле деятельности для очковтирателя…

СКЕПТИК: — Э-э, плохо ты их знаешь! Они давно усвоили, что самое верное дело — обрушить лавину неудобочитаемых формул, а наиболее осторожные не дают вдобавок к этим формулам расшифровки обозначений. Помнишь, как повсюду обсуждали «машину Дина». В маловразумительном американском патенте с формулами кое-кто увидел ни много ни мало, как опровержение третьего закона Ньютона. Почему-то никто не обратил внимания на то, что автор не знаком с общепринятым обозначением производной. А ведь этого было достаточно, чтобы прекратить бесплодную дискуссию в самом начале. Обойдись Дин без формул — ему бы никто не поверил. Но формулы, над которыми впору было посмеяться школьнику, оказали гипнотизирующее действие.

МАТЕМАТИК: — Ты сам себе противоречишь: по-видимому, Дина разоблачил первый же математик, заглянувший в патент. Но ты утверждаешь, что ученый может преспокойно творить, не утруждая себя изучением математики, что она бесполезна для исследователя. Но даже ты, столь мало знакомый с этой наукой, не станешь же отрицать пользу статистического анализа? (Показывает на кривую продолжительности жизни.) Разве статистика не позволяет сделать полезные заключения о здоровье человека? О вреде землетрясений? О качестве продукции?

СКЕПТИК: — Позволяет, если бы не «но»… Во-первых, статистика занимается оценкой гипотез, которые должны быть правильно составлены. Вот перед тобой график, ты думаешь, он говорит о вреде табака? (Закуривает.)

МАТЕМАТИК: — Несомненно. Кривая, которую ты видишь, отражает большое количество фактов. Если хочешь продлить жизнь, бросай курить.

СКЕПТИК: — Тогда слушай. Тебе случалось простуживаться?

МАТЕМАТИК: — Приходилось. И что?

СКЕПТИК: — Ты при этом кашлял?

МАТЕМАТИК: — Да.

СКЕПТИК: — А мог бы сдержаться и не кашлять?

МАТЕМАТИК: — Иногда, пожалуй, мог бы.

СКЕПТИК: — Так вот тебе способ излечения: старайся не кашлять, и все тут.

МАТЕМАТИК: — Какая чушь! Ведь кашель — это не причина болезни, это ее симптом.

СКЕПТИК: — А почему же тогда количество выкуренных сигарет ты объявляешь не симптомом, а причиной? Быть может, люди определенного физиологического склада подвержены одновременно как курению, так и раку. Тогда отказ их от курения покажет лишь, что на самом деле они мало подвержены как курению, так и раку, если смогли этот отказ совершить. Заметь, я ничего не утверждаю, я лишь показываю, как можно поставить под сомнение всякий вывод, основанный на статистике.

Впрочем, мы зря так долго задержались на этой печальной теме. Но и в отношении землетрясений, и с качеством продукции дело обстоит не лучше. Все предлагаемые подходы уязвимы для критики. Время от времени очередной вероятностный подход математики объявляют ошибочным. Многие специалисты по теории вероятностей чуть ли не сделали своей профессией поиски чужих ошибок. Увы, против их суждений не возразишь. По крайней мере, в негативной их части. И в этом второе «но». Почти невозможно выбрать математический метод, защищенный от критики. Значит, никакой «строгой научной основы» математика предложить не может. Ее строгость кажущаяся.

МАТЕМАТИК: — Все твои выпады метят не в математику, а в примеры ее некомпетентного использования. С этих позиций можно осудить любую науку, от биохимии до эстетики. Когда-то кто-то сказал, что существуют три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика. Разумеется, он имел в виду спекуляцию фактами, основанную на статистической фразеологии. А что касается сигарет, то можешь не самоутешаться: здесь выводы сделаны с научной точки зрения безупречно. И смешно проводить параллель между этими выводами и изысками вечного двигателя или рецептов выигрыша в «Спортлото».

СКЕПТИК: — Кстати о «Спортлото». Ты уверен, что в этой игре нет разумной стратегии?

МАТЕМАТИК: — Твой вопрос сам по себе более обличает в тебе невежду, чем твои колкости: согласно математике, одинаково возможна любая комбинация чисел. Ты не сможешь увеличить вероятность выигрыша, приняв какую-то стратегию.

СКЕПТИК: — Вот типичная роль математика — скользит над гладью явлений, не задевая их сердцевины. Ты забыл, что кроме вероятности выигрыша важен еще и его размер. А размер можно повысить, назначая те комбинации чисел, против которых многие предубеждены. Например, мало кто назначает первые шесть номеров по порядку — так назначай их постоянно, из тиража в тираж. И тебе будет не с кем делить выигрыш.

МАТЕМАТИК: — Вот это достойная тебя область научного творчества. Браво! Не предложишь ли чего-нибудь по поводу вечного двигателя?

СКЕПТИК (делая вид, что не слышал): — Однако заболтался я с тобой, а дело не ждет. Да, погоди. (Уже почти уйдя, возвращается). Зачем-то ты был мне нужен. А вот зачем? Ах, черт! Вспомнил! Скажи, пожалуйста, как мне убедиться в репрезентативности выборки вот в этом эксперименте? (Разворачивает свернутую трубочкой бумагу.)

МАТЕМАТИК: — Тебе хочется узнать истину или просто заткнуть глотки возможным оппонентам?

СКЕПТИК (смущаясь): — Видишь ли, в выводе я, вообще говоря, уверен. Но мне нужно статистическое обоснование того, что я провел достаточное число опытов, ну, там с учетом разброса данных и прочего. Так поможешь?

МАТЕМАТИК: — Ага, тебя интересует в математике ее «убойная сила». Так вот: я не стану снабжать тебя ею. Во-первых, ты только что сам иронизировал над таким применением математических знаний. Во-вторых, математика не знает бесспорного ответа на твой вопрос. И в-третьих, у меня тоже нет времени.

СКЕПТИК (уходя бормочет): — Достаточно было «во-вторых».

Автор: М. Высотский.