Теория нечетких множеств

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Не было в последние десятилетия науки, которая не стремилась бы к математической строгости. Но вот сама царица наук этого ценнейшего своего качества постепенно лишается. Одно из доказательств тому — новый ее раздел…

Нечеткие множества

Известно, что строгая, классическая математика хорошо (или хоть как-то) работала лишь до тех пор, пока с ее помощью описывали поведение достаточно простых систем. Скажем, колеблющихся пластинок, магнитных полей или электронов. Но как только пытались перейти к более сложным объектам, математика начинала буксовать. Особенно трудно приходилось, когда математику использовали для описания социальных систем, в которых присутствует человеческий фактор.

Как только «пахло человеческим духом», алгебре явно становилось нехорошо. В самом деле, в вопросах планирования трудно строго определить, что такое допустимый план. При проектировании сложных объектов невозможно строго определить множество объектов, из которых следует выбрать наилучший. Да и что такое наилучший? Тоже неясно. В самом деле, если есть множество: утюг, кролик, книга из трех объектов, то совершенно ясно, что элемент «утюг» этому множеству принадлежит, а элемент «конденсатор» — нет. Кстати, это знают уже школьники второго класса, которые обучаются математике по новым программам. Но как быть с множеством «великие французские писатели XIX века»? Кто в него входит? А ведь такое множество употребительно, и именно с подобными множествами приходится больше всего мучиться тем, кто занимается проблемами управления. Это и побудило американского математика Л. Заде создать свою теорию нечетких множеств.

Для описания нечеткого множества он предлагает ввести для каждого элемента множества степень его принадлежности этому множеству. Например, для упомянутого множества «великие французские писатели XIX века» (обозначим его буквой В) можно дать следующее описание: В =(1/Стендаль, 1/Флобер, 1 /Бальзак, 0,9/Гюго, 0,8/Мопассан, 0,7/Мериме, 0,6/Мюссе, 0,6/Жорж Санд, 0,6/Золя, 0,6/Франс, 0,5/Гонкуры, 0,5/Доде). Здесь над косой чертой перед каждым элементом множества показана степень его принадлежности множеству.

Разумеется, все цифры — чисто условные, они учитывают главным образом не величие писателей, а степень их принадлежности к XIX веку. Подобным же путем, но уже с введением интегралов, нетрудно описать такие распространенные на практике нечеткие множества, как множества «молодых людей», «красивых женщин», «хороших руководителей», «талантливых ученых», такие нечеткие понятия, как «много», «мало», «немного», «несколько».

…Кстати, что такое «несколько»? Это три или восемь? Л. Заде предлагает считать, что «несколько» — это (0,5/3, 0,8/4, 1/5, 1/6, 0,8/7, 0,5/8). Иначе говоря, по его мнению, «несколько» — это, скорее всего, «пять» или «шесть», с немного меньшей достоверностью — «четыре» или «семь», с еще меньшей — «три» или «восемь».

В рамках теории нечетких множеств определены такие расплывчатые понятия, как «очень», «сильно», «слегка» и т. д. Скажем, слово «очень», как только мы его употребили перед каким-либо членом множества, возводит степень принадлежности к нему в квадрат. Например, если переменная «качество» принадлежит множеству «хорошее» со степенью 0,5, то множеству «очень хорошее» оно будет принадлежать уже со степенью 0,5²=0,25. А, скажем, Мериме будет принадлежать ко множеству «величайшие (в смысле «очень великие») французские писатели XIX века» уже со степенью 0,7² = 0,49, в то время как Бальзак — как и раньше, единицей.

Л. Заде ввел еще ряд полезных понятий и операций, помогающих обращаться с нечеткими множествами. И даже строить с их помощью «нечеткие алгоритмы». Как вам понравится, например, такая рекомендация: «Если плотность застройки велика, то следует немного растянуть множество допустимых вариантов, или увеличить расстояние между зданиями или перейти к другой схеме»? Специалист, проникнутый идеями строгой математики, назвал бы такую рекомендацию «неалгоритмической» и запросил бы дополнительных разъяснений. А в рамках теории нечетких множеств такая фраза вполне приемлема и может служить основой для машинной программы — вот что самое главное!

Все чаще раздаются голоса, что математика слишком жестка, статична, императивна. Поистине, перефразируя Сальери, настало время поверять алгебру гармонией, иначе говоря, расширить средства алгебры так, чтобы в них стали умещаться категории, которыми мы оперируем в жизни. Теория нечетких множеств Заде тем и хороша, что позволяет сделать важный шаг в сторону «смягчения» математических понятий. Ведь далее появляется возможность сочетать одну нечеткость с другой, создавая тем самым широкую палитру нюансов. К примеру, мы можем теперь записать на математическом языке понятие «три великих французских писателя XIX века». Это будут, естественно, Стендаль, Флобер и Бальзак: вспомните, что в формуле В числители дробей, знаменателями которых служат эти три фамилии, равняются единице, в то время как числители всех других дробей меньше единицы.

Хуже, правда, если нам требуется множество «два великих французских писателя XIX века». Заде предлагает в этом случае сделать случайный выбор двух из трех упомянутых писателей с помощью датчика случайных чисел (машинный аналог подбрасываемой монеты). Но зато нетрудно, скажем, сочетая два введенных множества, образовать множество «несколько великих французских писателей XIX века» — для этого есть почти неуязвимые для критики правила. (Речь идет, разумеется, о критике математической, ибо литературоведы подобный подход начисто и справедливо отвергнут).

Автор: М. Рейтман.