Рассказ о необыкновенных вычислениях

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Наука о свойствах целых чисел, теория чисел, или высшая арифметика, возникла сравнительно недавно. Однако многие задачи этой науки были выдвинуты уже математиками древности. Формулировки задач теории чисел иногда настолько просты, что понятны бывают школьникам. Для решения этих задач нередко приходится пользоваться очень сложным и тонким математическим аппаратом и затрачивать много труда. Один из величайших математиков К. Гаусс свое отношение к теории чисел выразил в следующих словах: «Если математика — царица наук, то арифметика царица математики».

О САМОМ БОЛЬШОМ ПРОСТОМ ЧИСЛЕ

Совокупность целых чисел, расположенных в порядке возрастания 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… называется натуральным рядом чисел. 1 есть наименьшее натуральное число. Каждому, наверно, понятно, что не существует «самого большого числа», поскольку к такому числу можно прибавить единицу и получить большее число.

Среди целых чисел можно обнаружить числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. Такие числа называются простыми. Единицу не причисляют к простым числам. Все же остальные числа обладают более, чем двумя делителями. Их называют составными или сложными. Среди чисел первой сотни имеется 25 простых чисел. Вот они: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. В десятой сотне простых чисел оказывается 14, а в шестидесятой — только 7. Может показаться, что в натуральном ряду простые числа встречаются лишь до определенного места, а затем идут только составные. Однако такое предположение оказывается неверным. Уже в III веке до нашей эры греческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11… бесконечен.

Таким образом, не существует наибольшего и среди простых чисел. Можно говорить лишь о наибольшем простом числе, известном человечеству в тот или иной период истории. Такое число ради краткости мы и будем называть «наибольшим простым числом».

Знаменитый французский математик Пьер Ферма (1601—1665), заметив, что числа: 2+1 =3, 2²+1=5, 2⁶+1= 17, 2⁸+1=257, 2¹⁸+1=65 537 суть простые, пришел к убеждению, что, продолжая этот ряд, мы будем получать исключительно простые числа. Числа эти столь быстро растут, что для изучения уже следующего числа ряда 2⁵² +1 = 4 294 967 297 требуются очень большие вычисления. Это число было рассмотрено в Петербурге величайшим математиком 18 века Л. Эйлером. Предположение Ферма оказалось неверным. Число 2⁵² +1, как показал Эйлер, делится на 641. Ферма высказал и другую догадку — о том, что 2³¹—1 =2 147 483 647 есть простое число. Это предположение, как доказал Эйлер, было правильным.

Число Эйлера-Ферма долго оставалось наибольшим известным простым числом. В середине 19-го века великий русский математик П. Л. Чебышев в своей докторской диссертации писал о нем: «Это есть самое большое простое число доселе известное». Как было уже сказано, Эйлер опроверг предположение Ферма о том, что все числа: 2+1, 2²+1, 2⁶+1, 2⁸+1, 2¹⁸+1 и т. д. являются простыми. Он доказал, что 2⁸²+1 есть сложное число. Дальнейшие примеры, опровергающие гипотезу Ферма, были указаны И. М. Первушиным. В 1878 году этот математик-любитель представил в Петербургскую Академию наук доказательства сложности чисел: 2¹⁷⁹⁸+1 и 2^8358008+1. Первое число делится на 114 689, а второе — на 167 772 161. Число 2^8358008+1 фантастически большое: оно содержит 2 525 223 цифры. Чтобы напечатать это число потребовалась бы строка, длиною в 5 километров, или книга в 1000 страниц.

В ПОГОНЕ ЗА ДЕСЯТИЧНЫМИ ЗНАКАМИ

Исключительно важную роль в математике и практической деятельности людей играет число, представляющее отношение длины окружности к диаметру. Л. Эйлер (1707—1783) обозначал это число греческой буквой пи. Авторитет Эйлера был столь велик, что вскоре это обозначение было принято всеми. Число пи имеет весьма почтенную историю. Приведем здесь несколько любопытных и поучительных фактов.

Из папируса Ринда (учебника математики древних египтян) мы узнаем, что пи принималось равным =3,1604… В действительности же пи = 3,1415926… Таким образом, примерно за две тысячи лет до нашей эры египтяне владели приближенным значением пи, обладающим приличной точностью. По-видимому, оно было найдено опытным путем.

Заметим, что в Библии и Талмуде пи ошибочно принималось равным 3. В Талмуде сказано: «То, что имеет три ладони в окружности, имеет одну ладонь ширины».

Первая серьезная попытка определения числа пи, в основе которой уже лежал научный метод, принадлежит величайшему гению древности Архимеду (287—212 до нашей эры). В своем сочинении «Измерение круга» Архимед установил, что пи содержится между числами 3,14084… и 3,14285… Более тесные границы для пи были даны лишь в 13 веке известным итальянским математиком Леонардо Пизанским. Последний показал, что пи содержится между числами 3,1410… и 3,1427…

В 1596 году появилось сочинение профессора Лейденского университета Лудольфа ван- Цейлена, в котором содержались вычисления пи с 20 десятичными знаками. Спустя 20 лет, в другом сочинении Лудольфа пи было дано уже с 32 знаками.

Желая уточнить природу этого числа, математики снова и снова обращались к его вычислению. Французский математик Ланьи в 1719 году нашел 127 знаков. А в 1766 году берлинский ученый Ламберт, опираясь на некоторые открытия Эйлера, сумел доказать, что пи выражается бесконечной десятичной непериодической дробью (впоследствии это доказательство было улучшено французским математиком Лежандром).

Казалось бы, после столь важного открытия поиски дальнейших знаков этого числа должны были прекратиться. Однако в 19 веке нашлись исследователи, которые, опираясь на новые методы, вычислили пи с 200, 500 и, наконец, с 707 десятичными знаками. Последнее вычисление было выполнено в 1873 году англичанином Шенксом. Никакое человеческое воображение не в состоянии представить себе точность, соответствующую семьсот седьмому десятичному знаку. Результат Шенкса получил славу рекорда вычислительной техники 19 века. Однако, в 1946 году выяснилось, что из знаков, найденных Шенксом, верны лишь первые 530. В 1948 году было получено 808 знаков числа.

ГРАНДИОЗНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГАУССА

Вам, конечно, известно, что всякая обыкновенная дробь может быть обращена в десятичную посредством деления числителя на знаменатель. В одних случаях процесс деления заканчивается на каком-то шаге — получается конечная десятичная дробь. В других случаях этот процесс никогда не закончится: обыкновенная дробь обращается в бесконечную десятичную дробь. Получаемая здесь бесконечная десятичная дробь всегда оказывается периодической, то есть в ее составе имеется одна или несколько цифр, которые постоянно повторяются в одном и том же порядке. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом дроби. Можно ли, не развертывая дробь в десятичную, предвидеть сколько цифр будет в периоде?

Ответ на этот вопрос и на ряд других вопросов, связанных с теорией обращения обыкновенных дробей в десятичные, дал величайший немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс (1777— 1855) в своих «Арифметических исследованиях». В одной из таблиц составленных Гауссом, содержатся периоды дробей, знаменателями которых являются простые числа, не превышающие 1000, а числителями — единица или единица с нулями. Великий Гаусс терпеливо развертывал одну дробь за другой. Насколько кропотливой и трудоемкой была эта работа, можно судить хотя бы по одному примеру: для дроби 100/983 он вычислил период, состоящий из …982 цифр!

Автор: И. Г. Мельников.