Совершенные числа

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Древние греки первыми установили, что число «6» равно сумме всех делителей, исключая само это число: 6=1+2+3. Из-за этого свойства они назвали число «6» совершенным и поставили вопрос, сколько всего существует совершенных чисел?

Легко было обнаружено проверкой второе совершенное число «28»: 1+2+4+7+14=28. Затем Эвклид доказав что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения 2^n-1 (2ⁿ-1), где 2ⁿ-1есть простое число, является совершенным числом. В случае n=2 и n=3, числа 2²—1=3 и 2³—1=7 простые, поэтому 2¹ (2² — 1) =6 и 2² (2³ — 1) =28 — совершенные числа. Формула помогла обнаружить еще два совершенных числа (n=5, n=7).

Но отыскание дальнейших совершенных чисел этим способом казалось делом трудным. Николай Геразский (I век н. э.) писал: Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного.

В течение столетий авторы, писавшие о совершенных числах, интересовались больше суевериями и фантазиями, связанными с этими числами, чем их математической природой. Например, в диалогах Платона число «6» занимает особое место. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое.

В Риме при подземных работах в 1917 году была обнаружена постройка — общий зал с кельями вокруг него. Оказалось, что это здание — помещение неопифагорийской академии, в которой было 28 членов.

По религиозным преданиям мир был создан за 6 дней. Английский богослов VIII века Алкуин учил, что человечество, происшедшее после потопа от 8 лиц, бывших в ковчеге Ноя, менее совершенно, чем до потопа, так как «8» — число несовершенное. В XII веке церковники рекомендовали изучение совершенных чисел для спасения души.

Если первые четыре совершенных числа были известны в глубокой древности, то пятое совершенное число (n=13, 2¹²(2¹³—1) =33 550 336) было обнаружено лишь в XV веке, более чем через полторы тысячи лет после Евклида.

В 1644 году французский математик Марин Мерсенн объявил, не приводя доказательства, что первыми одиннадцатью совершенными числами вида 2^n-1 (2ⁿ-1) являются числа, отвечающие следующим значениям n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Математикам того времени было очевидно, что Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением простоту чисел 2ⁿ-1 при всех указанных значениях n. Непосредственно удалось проверить только первые три из указанных Мерсенном шести новых совершенных чисел. Они действительно оказались совершенными. Вот эти числа: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

В 1876 году французский математик Э. Люка указал метод, позволяющий проверить простоту числа без выполнения деления его на всевозможные простые делители. Он же установил, что число 2¹²⁷—1 является простым числом. Этот результат был правильно предсказан Мерсенном, однако в других случаях он ошибся. Было установлено, что показатели n = 67 и n = 257 вопреки указанию Мерсенна не дают совершенных чисел, но их дают не указанные Мерсенном показатели 61, 89 и 107.