Суть регрессии Кокса: модель рисков

В жизни и бизнесе возникает масса ситуаций, в которых крайне важно адекватно оценить риски того или иного решения. Чем дальше горизонт планирования – тем больше факторов влияет на исход дела. Модель пропорциональных рисков, предложенная в 1972 году, как раз призвана помочь оценить вероятность наступления того или иного события. По имени разработчика метод получил название регрессия Кокса.

Уточним, что регрессия в качестве метода используется для моделирования взаимоотношений между различными переменными и выяснения, как такое взаимодействие влияет на конечный результат. Также уточним, что риски в данной модели напрямую зависят от фактора времени. Для примера, возьмем исследование влияния обработанных продуктов на риск развитие диабета 2 типа. Именно регрессия Кокса была взята за основу при изучении влияния продуктов на здоровье человека. Это исследование можно прочесть в этой статье.

Суть регрессии Кокса

В основе регрессии Кокса лежат 3 (три) базовых допущения, на которых строится моделирование ситуации. Это очень важный момент.

Базовые предположения:
1. Все используемые переменные являются независимыми.
2. Все используемые переменные оказывают линейное влияние на оцениваемые риски.
3. Риски являются пропорциональными для любых 2-х объектов в любой временной отрезок.

С учётом данных допущений формула оценки рисков имеет следующий вид:
h(t) = h0(t)*exp(β1*х1 + β2*х2 …+ βр*хр)
В этой формуле наличествуют следующие величины:

• h0(t) – базовый риск.
• β1, …, βp – коэффициенты.
• х1, х2, …, хp – независимые переменные (т. н. предикторы).

Коэффициенты β1, …, βp описывают степень влияния каждой переменной на вероятность наступления события. Так, при увеличении переменой хр на 1 риск увеличивается в exp (βр) раз. Это при условии, что значение прочих предикторов не менялось.

В целом, метод Кокса имеет много общего с логистической регрессией: в том и другом случае регрессия строится с помощью поочередного включения и исключения предикторов в создаваемую модель. Поэтому модель нередко представляют таким образом:

h[(t),(х1, х2, …, хр)] = h0(t)*exp(β1*х1 +…+ βр*хр)

Далее можно линеаризовать модель, поделив части формулы на h0(t) и взяв натуральный логарифм от обеих частей:

log{h[(t),(х…)]/h0(t)} = β1*х1 +…+ βр*хр

Основное преимущество регрессии Кокса для оценки рисков состоит в том, что для моделирования ситуации по данному методу требуется меньшее количество наблюдений, чем для многих других методов. При этом данная модель обладает высокой точностью оценки пропорциональных рисков.