Тайна геометрии
Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком
Даже среди людей, знакомых с высшей математикой, широко распространено мнение, что обычная эвклидова геометрия трехмерного пространства, предмет полностью изученный и давно завершенный. В действительности же дело обстоит далеко не так. В школьной стереометрии и в аналитической геометрии рассматриваются лишь самые простые фигуры: плоскости, многогранники, круглые тела, гиперболоиды и другие геометрические объекты, имеющие простую форму. Между тем различные прикладные науки заставляют геометров изучать все более и более сложные пространственные фигуры.
Систематическое изучение свойств всевозможных искривленных поверхностей ведется с середины XVIII века. Однако общая теория таких поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве и сейчас еще далека от завершения. Каждый год в разных странах выходят десятки работ, посвященных этому сложному вопросу. В одних предлагаются новые идеи, в других — «отламывается» кусочек той или иной задачи. Но иногда мир облетает сенсационное известие: перед человеческим разумом сдалась сложная проблема, раскрыта еще одна тайна такого «знакомого» и привычного нам трехмерного пространства.
Линия, лежащая на поверхности и соединяющая две точки этой поверхности по самому короткому пути, называется геодезической. При геометрических построениях на поверхности она играет такую же роль, как прямая на плоскости. (По геодезической ложится нить, туго натянутая на твердую поверхность).
Если три точки поверхности попарно соединить геодезическими линиями, образуется треугольник. В отличие от треугольника на плоскости сумма углов треугольника на поверхности далеко не всегда равна 180°. Она зависит от формы поверхности и выбора треугольника. Разность (со знаком!) между суммой углов и 130° называется избытком треугольника. Избыток может быть положительным, отрицательным и равным нулю (у плоского треугольника).
Возьмем на поверхности какую-нибудь точку А. Нарисуем различные маленькие треугольники с вершиной в точке А, составленные из геодезических линий. Если измерить углы и площади этих треугольников, то окажется, что избытки треугольников приблизительно пропорциональны их площадям, и чем меньше треугольник, тем лучше соблюдается пропорциональность. Коэффициент этой пропорциональности (точнее, предел отношения избытка треугольника к его площади, когда треугольник стягивается к точке А) называется гауссовой кривизной поверхности в данной точке. Эта кривизна названа так в честь знаменитого немецкого математика К. Ф. Гаусса, который в начале 19-го века впервые исследовал ее в связи со своими работами по составлению географических карт.
Плоскость, коническая и цилиндрическая поверхности имеют в каждой точке нулевую кривизну. Получить из листа бумаги поверхность нулевой кривизны, например, коническую или цилиндрическую, просто. Поверхности же разной гауссовой кривизны нельзя перевести друг в друга «изгибанием» наподобие того, как из листа бумаги делается без разрывов и складок кулек-конус, Если мы попытаемся наложить лист бумаги на сферу, неизбежно получатся складки. (Вот почему изображение земного шара на географической карте всегда искаженное!). Если же лист бумаги приложить к седлу, возникнут разрывы.
Отрицательную кривизну имеют многие поверхности трехмерного пространства: псевдосфера, гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид и другие. Псевдосфера интересна тем, что ее кривизна во всех точках одинакова. Этим она похожа на сферу (отсюда и название). Однако псевдосфера существенно отличается от сферы. Ведь сфера не имеет ни вершин, ни ребер, как говорят, сфера всюду гладкая. А псевдосфера имеет ребро. Она как бы состоит из двух половинок, склеенных между собой.
Но, может быть, так неудачно устроена лишь псевдосфера? Нельзя ли отыскать какую-нибудь другую поверхность постоянной отрицательной кривизны, которая была бы такой же гладкой, как сфера? Этот вопрос привлек особое внимание математиков после одной работы Е. Бельтрами.
В 1868 году итальянский геометр Бельтрами установил, что поверхности постоянной отрицательной кривизны обладают замечательным свойством: фигуры, нарисованные на таких поверхностях, подчиняются законам планиметрии Лобачевского с той лишь разницей, что роль прямых выполняют геодезические. Выдающееся открытие Бельтрами было первой интерпретацией геометрии Лобачевского, первым ее реальным истолкованием, окончательно рассеявшим сомнения в существовании неэвклидовых геометрий. Так была установлена непосредственная и тесная связь между «воображаемой геометрией» русского математика и вполне реальными объектами нашего мира.
Но истолкование геометрии Лобачевского, данное Бельтрами, не было в некотором смысле исчерпывающим. Дело в том, что, например, псевдосфера служит моделью не всей плоскости Лобачевского, а лишь небольшой ее части. На псевдосфере нельзя провести бесконечную «прямую» — геодезическую, неограниченно продолженную в обе стороны: либо один ее конец, либо даже оба обязательно упрутся в ребро псевдосферы. Поэтому на псевдосфере невозможно проследить за таким замечательным явлением геометрии Лобачевского, как наличие бесконечного множества различных прямых, проходящих через одну и ту же точку и параллельных данной прямой. Точно так же обстояло дело и со всеми другими известными тогда поверхностями постоянной отрицательной кривизны: на каждой из них наблюдалось так называемое нарушение регулярности — либо ребро, как у псевдосферы, либо край, за который нельзя было продолжить поверхность.
Для того, чтобы указать поверхность, на которой воспроизводилась бы геометрия всей плоскости Лобачевского, математики должны были найти поверхность постоянной отрицательной кривизны без нарушений регулярности. Вопрос, существует ли в нашем пространстве поверхность, на которой действуют законы планиметрии всей плоскости Лобачевского, или, как говорят геометры, можно ли плоскость Лобачевского «погрузить» в пространство Эвклида, стоял перед математиками долгие годы. Ответ на него дал лишь в 1901 году выдающийся немецким математик Гильберт. Ему удалось установить, что всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны обязательно имеет нарушение регулярности. Оказалось, что «дефект» псевдосферы не исключение, а характерное свойство рассматриваемого класса поверхностей. Таким образом, Гильберт показал, что плоскость Лобачевского нельзя «погрузить» в пространство Эвклида.
Тогда возник естественный вопрос. Ведь в пространстве Лобачевского, помимо плоскости, существуют и другие поверхности. Всякую ли из этих поверхностей можно «погрузить» в пространство Эвклида? Вот этой-то задачей и заинтересовался в середине тридцатых годов молодой геометр Н. В. Ефимов. Математически она формулируется так: существуют ли в нашем трехмерном пространстве гладкие поверхности без краев и изломов с переменной отрицательной кривизной, нигде не приближающейся к нулю?
Проблема оказалась очень трудной. Ведь геометрическая теория поверхностей отрицательной кривизны, несмотря на ее большую практическую важность, разработана еще слабо. Нерешенным остается даже такой вопрос, как описание возможных форм этих поверхностей: геометры до сих пор продолжают обнаруживать все новые и новые их виды. Трудности не испугали Н. В. Ефимова. Он с большой энергией взялся за решение проблемы.
Первое прощупывание не дало результата, не удалось даже найти подхода к решению. Прием, использованный Гильбертом, не годился, другие известные методы оказались бессильными. Нужно было искать новые пути. Пришлось отказаться от лобовой атаки и перейти к длительной, терпеливой осаде.
Поиски и раздумья, надежды и разочарования, неудачи и частичные успехи заняли почти тридцать лет. Начинающий ученый превратился в маститого профессора с мировым именем, а мечта молодости, заветная проблема не поддавалась. Снова и снова обращался Николай Владимирович к задаче, получал новые интересные и важные геометрические результаты, но главная цель оставалась недостигнутой.
Постепенно накапливался опыт, намечались возможные пути подхода к решению, росла уверенность: задача будет «добита»! И вот успех! Напряженный исследовательский труд, сотни страниц сложных математических выкладок не пропали даром, был получен долгожданный результат: изломы или края у исследуемых поверхностей неизбежны. Значит, из пространства Лобачевского в пространство Эвклида нельзя перенести многие виды кривых поверхностей. Проблема Бельтрами — Гильберта, возникшая почти 100 лет назад, была решена Н. В. Ефимовым в более общем виде.
Работа Н. В. Ефимова раскрыла еще одну тайну поверхностей отрицательной кривизны, поверхностей, окружающих нас на каждом шагу. Лопасти винтов вертолетов, лопатки турбин, некоторые детали станков представляют собой поверхности отрицательной кривизны. Поэтому глубокое изучение таких поверхностей представляет не только теоретический интерес. Развитие этой теории полезно и для изучения объектов геометрии Лобачевского, находящей применение при исследованиях микромира и космоса.
Авторы: Э. Розендорн и Н. Розов.