Теория множеств в математике и континуум проблема

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Если у вас два множества, в каждом из которых бесконечное число элементов, то как ответить на вопрос, какое из множеств «больше»? Здесь приходит на помощь идея соответствия. Когда тысяча зрителей входит в кинотеатр, то каждый легко находит место, соответствующее купленному им билету, так как места в кинотеатре занумерованы. Задачу выяснения соответствия решает и контролер в электропоезде. Если вы подадите ему два десятка билетов и скажете, что эти билеты «на всех», он, пожалуй, не справится со своей работой. Но стоит каждому взять в руки свой билет, как безбилетник тут же обнаружится. Хотя математики имеют дело с числами, а не с железнодорожными «зайцами», эта идея сослужила им большую службу. Два множества, говорят математики, могут различаться количеством входящих в них элементов, то есть мощностью. Множество, состоящее из тысячи кресел, и множество, состоящее из тысячи зрителей, имеют одинаковую мощность.

Представьте себе теперь зрительный зал, в котором бесконечное число мест. Все эти места занумерованы подряд, и у каждого зрителя в руках билет, на котором указан номер его места. На четных местах сидят женщины, а на нечетных — мужчины. В перерыве мужчины вышли в фойе, а женщины решили поговорить и сели потеснее. Та женщина, которая сидела на месте с номером 2, пересела на место с номером 1, женщина с четвертого места перебралась на второе, с шестого — на третье, с сотого — на пятидесятое, с тысячного — на пятисотое и т. д. Когда мужчины вернулись в зрительный зал, то, к своему крайнему удивлению, обнаружили, что в зале нет ни одного свободного места.

Вы скажете — парадокс: зрителей стало в два раза меньше и в то же время осталось столько же. Но что значит для бесконечного множества «в два раза меньше»? Уменьшим его в сто, в миллион раз, оно все же останется бесконечным.

Если вы привыкли работать с числовой осью, вы знаете, что целые числа можно нанести на нее, оставив между ними одинаковые промежутки. Числовая ось бесконечна, и все целые положительные числа на ней уместятся. Однако промежуток между каждыми двумя соседними числами можно разделить пополам, и мы получим новые точки. Затем каждый новый промежуток можно делить еще и еще пополам, Этот процесс будет длиться без конца. Можно делить не пополам, а на три, на пять, на семь, одиннадцать частей, и каждый раз будем получать точки, которых не было раньше. Казалось бы, после такой процедуры вся числовая ось будет сплошь испещрена. Но даже если мы нанесем на нее все рациональные числа (то есть все числа, которые выражаются дробями), мы получим множество такой же мощности, как множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4…

Иными словами, рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Чтобы убедиться в этом, достаточно разместить все рациональные числа по своим местам. Каждое рациональное число можно записать в виде отношения двух целых чисел: p/q. В первое кресло мы поместим число, у которого p + q = 2. Такое число одно, а именно единица: 1 — 1/1. Чисел, у которых р + q = будет два: 1/2 и 2=2/1. Первое из них мы поместим в кресло с номером 2, второе — в кресло с номером 3, следующие места займут числа, для которых рq = р + q = 5 и так далее.

При этом из двух чисел с одинаковой суммой числителя и знаменателя мы сначала обеспечим местом то, у которого меньший числитель. В результате все положительные рациональные числа можно будет разместить в зале, где имеется мест не больше, чем натуральных чисел. Больше того, многие места окажутся свободными. Например, среди чисел, для которых р + q = 4, только два числа 1/3 и 3 будут новыми; число же 2/2= 1 уже получило свое место раньше.

Мы доказали сейчас важную теорему о том, что множество рациональных чисел, как говорят математики, «счетно», то есть имеет такую же мощность, как множество натуральных чисел. На первый взгляд может показаться, что любое бесконечное множество счетно. Однако это не так, что было установлено математиком Кантором. Оказалось, что множество всех вещественных чисел несчетно; другими словами, все вещественные числа нельзя занумеровать. Математики вслед за Кантором говорят, что множество всех вещественных чисел имеет мощность континуума. С помощью идеи соответствия нетрудно доказать, что ту же мощность континуума имеет и множество точек на отрезке и множество точек на плоскости. Кантор развил свою теорию дальше. Он построил множества, имеющие большую мощность, чем континуальные множества.

Однако вопрос о том, существуют ли множества, мощность которых заключена строго между мощностью множества натуральных чисел и мощностью множества всех точек отрезку оставался открытым.

Много десятилетий математики безуспешно пытались доказать гипотезу, что множества континуальной мощности представляют собой ступеньку, непосредственно следующую за счетными множествами. Этот вопрос так волновал математиков, что континуум-гипотеза была названа Д. Гильбертом первой среди поставленных им в 1903 году фундаментальных проблем математики.

В тридцатых годах известный математик Гёдель подверг континуум-гипотезу испытанию с помощью новейших средств математической логики. Он обнаружил, что эта гипотеза не может быть выведена на основе аксиом арифметики и теории множеств. Надежды математиков найти множества промежуточной мощности возродились. Однако многочисленные конструкции; предлагавшиеся на протяжении последних тридцати лет, неизменно оказывались ошибочными.

И вот проблемой занялся американский математик Поль Коэн. Изучая работы Геделя, Коэн понял, что только математическая логика может дать ответ на проблему континуума. Если континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств, то, может быть, ее удастся опровергнуть? Трудно математическое счастье! Сотни, иногда тысячи часов напряженных размышлений проходят, прежде чем ученый приходит (если приходит!) к намеченной цели. Коэну, как он сам говорит, «повезло». Меньше года работы над континуум-проблемой, и он обнаружил поразительнейший по своему характеру факт: континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута.

Она является самостоятельной аксиомой, не зависящей от остальных. Иными словами, можно строить теорию множеств, в которой континуум-гипотеза имеет место, а можно обойтись без нее, приняв противоположное предложение, — только это уже будет «другая» теория множеств.

По своему характеру результат Коэна можно сравнить с открытием математической теории игр (в основе которой лежит, например современная торговля на фондовом и валютном рынке, больше об этом можно узнать на сайте https://www.forexindikator.net/maximarkets-loxotron-i-moshenniki) и геометрии Лобачевского. Помните, там тоже устанавливалась независимость аксиомы параллельности (или V постулата Евклида) от остальных аксиом геометрии. Если из полного списка аксиом геометрии, указанного Д. Гильбертом, выбросить на время аксиому параллельности, то мы получим «более бедный» список аксиом, из которых, однако, можно вывести ряд теорем. Это будут, например, те теоремы, которые доказываются в школьном курсе геометрии до аксиомы параллельности. Свыше 2000 лет математики пытались вывести аксиому параллельности (или эквивалентный ей V постулат Евклида) из остальных аксиом, то есть доказать ее как теорему. Ведь именно так обстояло дело с континуум-гипотезой, которую безуспешно пытались вывести из аксиом арифметики и теории множеств?!

После открытия Лобачевского и последовавших за ним работ Бельтрами, Кэли, Клейна, Гильберта стало ясно, что евклидову аксиому параллельности нельзя ни доказать, ни опровергнуть на основании остальных аксиом геометрии. Добавив аксиому параллельности к остальным аксиомам, мы получаем стройную, непротиворечивую теорию — евклидову геометрию, с которой знаком каждый старшеклассник. Но, добавив вместо евклидовой аксиомы параллельности противоположное предложение (через точку, лежащую вне прямой, проходят в плоскости не менее двух прямых, не пересекающихся с данной), мы получаем не менее стройную и также непротиворечивую теорию. Только это будет уже другая геометрия — геометрия Лобачевского.

В одной геометрии наряду с остальными аксиомами выполняется и аксиома параллельности, в другой геометрии по-прежнему справедливы все остальные аксиомы, но евклидова аксиома параллельности места не имеет. Это и означает, что аксиому параллельности невозможно ни доказать, ни опровергнуть, исходя из остальных аксиом геометрии. И, как установил Коэн, в таком же положении находится континуум-гипотеза по отношению к остальным аксиомам арифметики и теории множеств.

В науке часто бывает так: долгое время какая-то проблема остается незыблемой, не поддаваясь настойчивым атакам ученых. И вдруг одновременно ее решение находят совсем не связанные друг с другом люди, причем приходят к нему разными путями. Так произошло и с континуум-гипотезой.

Автор: В. Болтянский.