Цифры вместо интуиции

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Есть математические задачи, к которым мы привыкли. Мы решаем их сначала в школе, а потом, в более сложном виде, — в высших учебных заведениях. Никого сейчас не поражают сложные математические расчеты колоссальных инженерных конструкций и сооружений. И для нас нет ничего удивительного в том, что полет космического корабля и работу атомного реактора рассчитывают математики. Но вот представим себе следующую задачу: у студента-второкурсника есть три знакомые девушки. Если он пригласит одну из них в субботу на танцы, то две другие обидятся. Поэтому возможно, что обе они на следующей неделе отвергнут его приглашение. Кроме того, может случиться, что девушка, которую он пригласил, примет повторное приглашение более охотно (или наоборот — менее охотно). Предполагая, что девушки не будут «помнить обиду» более недели, требуется определить, как должен вести себя юноша, чтобы число успешных приглашений было максимальным. Что это, спросит читатель,— шутка?

Минуту терпения. Вот еще одна необычная задача. Следователь, устанавливающий личность правонарушителя, имеет несколько свидетелей, среди которых находится и сам правонарушитель. Следователь может задавать каждому только по одному вопросу, в том числе и вопрос о надежности показаний предыдущих свидетелей. В каком порядке должен он вести допрос, чтобы выявить правонарушителя при наименьшей затрате времени?

Приведенные задачи взяты из курса молодого раздела математики, который называется динамическим программированием. Они решаются совершенно строго, однозначно, причем для этого требуются довольно сложные математические расчеты. В последние годы в математических исследованиях возникли совершенно новые направления. Их объединяет общее название «анализ операций», однако задачи и методы этих направлений различны. Поэтому в новой области математики выделяют три главных раздела — теорию игр, линейное программирование, динамическое программирование.

ТОЛЬКО ВЫИГРЫШ

Новые математические дисциплины не совсем обычны: они имеют дело с задачами, казалось бы, совершенно не математического характера. Например, теория игр, как это следует из самого названия, занимается исследованием различных игр и рассматривает наиболее рациональные методы их ведения — для того, чтобы обеспечить выигрыш человеку, знающему теорию.

Впрочем, математическое понятие «игры» несколько отличается от того, что обычно подразумевают под ней в повседневной жизни. В математике игра — это любая конфликтная ситуация между двумя или несколькими людьми, из которых каждый желает выйти «победителем». Это может быть игра в шахматы, в карты, судебная тяжба. В связи с таким широким понятием «игры» все конфликты делятся на два широких класса: игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. К первому классу относятся конфликты, при которых одна сторона выигрывает или проигрывает ровно столько, сколько проигрывает или выигрывает другая. В играх с ненулевой суммой выигрыш и проигрыш не равны между собой. Например, карточная игра преферанс относится к категории игр с нулевой суммой. По окончании каждой партии или ряда партий, игроки рассчитывают свой выигрыш или проигрыш. Сумма всех выигрышей и проигрышей обязательно равна нулю.

При решении игровых задач математики рассматривают различные варианты стратегии игры и определяют, какую сумму игрок должен будет выиграть или проиграть, выбрав тот или иной вариант. Естественно, что они выясняют и наиболее разумную стратегию, которая дает самый большой выигрыш.

Математическая теория игр, однако, не рассматривает так называемые азартные игры, где выигрыши или проигрыши участников игры зависят не от их мастерства и выбранной стратегии игры, а от чистого случая.

Экономические связи между странами можно также исследовать методами теории игр. Если экономические отношения между государствами построены на равноправных, честных и взаимовыгодных началах, то это будет «игра» с ненулевой суммой, потому что в ней не будет проигравших сторон.

Интересным классом игровых задач являются задачи «на выживание», задачи «на разорение», задача «на преследование». Эта терминология, принятая в настоящее время в математической литературе, обусловлена исторически. Она явно указывает на то, какие проблемы интересуют математиков последнего времени, разрабатывающих логически обоснованные методы борьбы конкурирующих монополий и монополистических групп. Однако, как это часто бывает в науке, методика решения одной задачи может быть применима к решению широкого класса задач, не имеющих ничего общего ни с разорением, ни с выживанием, ни с преследованием. Например, к классу задач «на разорение» может быть отнесена задача об оптимальной эксплуатации полезных ископаемых данного района. Здесь «разоряться» будут недра земли.

ВЫ ЗНАКОМЫ С АЛГЕБРОЙ!

Наиболее простой раздел анализа операций — линейное программирование. Им может овладеть любой человек, знакомый с алгеброй в объеме средней школы. Чтобы понять метод линейного программирования, представим себе железнодорожный вагон, в котором можно перевезти груз в двух видах тары, к примеру — в ста ящиках, либо в трехстах бочках. Допустим, что груз необходимо везти одновременно в ящиках и бочках. Какие комбинации тары при этом возможны?

Для решения вопроса достаточно в прямоугольных координатах на одной оси отложить отрезок, равный количеству ящиков (сто), а на другой — количеству бочек (триста). Если мы соединим концы обоих отрезков прямой линией, то координаты любой точки полученной прямой будут соответствовать всем возможным комбинациям.

Задачу о таре можно усложнить, добавив, что весь груз умещается еще и в семидесяти тюках. Как скомбинировать все три вида тары? В этом случае придется воспользоваться трехмерной системой координат.

Геометрическое место точек плоскости, проходящей через три отрезка, будет представлять все возможные варианты заполнения вагона ящиками, бочками и тюками. Если объектов больше, скажем, пять или десять, тогда плоскость превратится в плоскость пятимерного или десятимерного пространства, которыми математики тоже умеют оперировать.

Но, пожалуй, самый интересный момент теории линейного программирования — это поиски среди всех возможных вариантов так называемого оптимального, т. е. наилучшего. Например, стоимость перевозки грузов в ящиках может быть одна, в бочках — другая, в тюках — третья. Линейное программирование позволяет решить вопрос, какой вид тары будет самым экономичным.

Линейное программирование все чаще и чаще применяется для решения различных задач практической экономики. Рациональное использование производственной мощности предприятий, продуманное составление заданий, самое выгодное размещение капиталовложений — все эти вопросы планирования можно решать методами линейного программирования.

ШАГ ЗА ШАГОМ

Сложным, но весьма перспективным разделом анализа операций является динамическое программирование. Методы динамического программирования позволяют решать такие задачи, когда достижение цели возможно лишь в результате некоторого, может быть даже бесконечно большого, числа отдельных шагов. Иногда такие задачи называются многошаговыми. Пример с приглашением девушек на танцы — подобная задача. Ведь здесь каждый предыдущий шаг оказывает влияние на всю ситуацию и, следовательно, для достижения цели необходимо, чтобы все последовательные шаги (приглашения) подчинялись определенной закономерности.

При решении этой довольно легкомысленной задачи студент должен точно рассчитать, как охотно каждая из девушек примет приглашение. Затем, после каждого приглашения, он должен выяснить, как оно повлияет на его шансы танцевать в следующую субботу. Это нужно для того, чтобы остановить выбор на той, кто вероятнее всего согласится пойти с ним на танцплощадку.

Динамическое программирование указывает общие математические методы выбора многошаговой «стратегии». Оно широко применяется в важнейших экономических исследованиях. С его помощью разрабатывают системы, состоящие из многих действий (шагов, мероприятий), которые кратчайшим путем приводят к намеченной цели. Сюда относятся задачи о последовательности капиталовложений в разные отрасли промышленности, о продуманном расходовании запасов сырья, природных ресурсов, энергии, о рациональной системе убоя и продажи скота и т. д.

ЭТО ТОЖЕ МАТЕМАТИКА

Мы коротко рассказали о трех названных в начале статьи направлениях математических исследований. Но «анализ операций» не ограничивается только их решением. Область его приложения значительно шире. В частности, он захватывает и такую интересную область, как теорию поведения. Этот раздел математики смыкается с кибернетикой и теорией информации и позволяет математически предсказать и описать многие явления в мире живых организмов.

Теория поведения исходит из изучения поведения как отдельных организмов, так и коллективов живых существ. Основным представлением, которое позволяет математически рассматривать некоторые стороны поведения, является регулирование. Регулирование представляет собой сумму реакций организма на изменение внешней и внутренней среды.

Математическая теория автоматического регулирования хорошо разработана для машин и механизмов, и многие ее положения оказываются применимыми для описания поведения живых существ. В частности, аналогом павловской теории рефлексов является в теории регулирования обратная связь.

Рассматривая «государство» насекомых, например пчел, можно заметить, что здесь принцип математического регулирования направлен на то, чтобы обеспечить жизнедеятельность большого количества насекомых. Поведение каждого члена сообщества в свою очередь определяется необходимостью поддерживать в коллективе самые благоприятные условия для жизни.

На пути математического исследования поведения живых существ стоят еще большие трудности, так как, конечно, не все особенности поведения организмов можно свести к упрощенной системе автоматического регулирования. Но можно надеяться, что с развитием точных методов в биологических исследованиях будут получены данные, которые позволят углубить и расширить этот увлекательный раздел прикладной математики.

Современная математика — интересная, волнующая наука. За последние годы в ней произошли глубокие изменения и сделаны большие открытия, которые выводят ее на качественно новую ступень. Методы математического анализа помогают решать многие жизненно важные проблемы, которые раньше решались только большим опытом, а порой лишь догадкой, интуицией.

Автор: А. Мицкевич.