Філдсівська премія з математики: як і за що присуджують

У минулій статті, ми розповіли про те, чому в математиці немає Нобелівських премій, і також про те, що у математиків є свій аналог Нобелівської премії – Філдсівська премія, яка була заснована канадським меценатом Джоном Філдсом, для математиків, які зробили видатні відкриття в цій науці. Сьогодні ж ми розповімо про те за якими критеріями в цілому присуджується Філдсівська премія.

Дотримуючись заповіді Марії Кюрі в науці важливіше що, ніж хто,— почнемо з тематики відкриттів. Відразу видно: половина премій присуджена за роботи, присвячені різноманіттям. Це дійсно центральний об’єкт сучасної математичної науки.

Античні математики вважали, що світом правлять числа; в епоху Ньютона світ стали описувати за допомогою функцій (які приймають числові значення); в наш час математичний Всесвіт складається в першу чергу з многовидів (які перетворюються один в одного за допомогою функцій).

Така еволюція не випадкова. Поняття числа використовує лише “арифметичну” частину природної людської уяви. Функції багатші чисел, бо їх можна не тільки складати і множити одна на одну (як числа), а й розглядати їх графіки,— при цьому мобілізується геометрична інтуїція, «яка безцінна, якщо її не переоцінювати». Нарешті, поняття різноманіття експлуатує і геометричну, і арифметичну компоненти здорового глузду, і обидві — у високій мірі.

Що ж це таке – різноманіття? Дуже просто: геометрична фігура, всі точки якої рівноправні. Наприклад, окружність: видно, що кожну її точку можна перевести в будь-яку іншу поворотом кола. Тою же властивістю володіє пряма (її точки переводяться одна в одну зрушеннями); але відрізок прямої і дуга кола влаштовані інакше — у них є по дві кінцеві точки, не рівноправні з усіма іншими. До речі, слово «пряма» тут не треба розуміти по-шкільному: до цього класу відносять будь-яку незамкнуту криву, яка себе не перетинає (наприклад, параболу). Значить, окружність і пряма — різноманіття, а відрізок і дуга — ні. Далі, ясно, що коло не можна перетворити в пряму, не розриваючи її; але малий шматочок кола — дугу — можна розігнути, перетворивши у відрізок, малий шматочок прямої.

Отже, окружність і пряма — різні різноманіття, але «локально» вони влаштовані однаково, тобто (мовою топології) вони мають «однакову розмірність», рівну одиниці. Неважко визначити і двомірні різноманіття – в їх число увійдуть площина, сфера (поверхня кулі), тор (поверхня бублика), різні кренделі, а також відома «пляшка Клейна». Можна також ввести різноманіття великих розмірностей – 3, 4…

Такий наочно-геометричний підхід до поняття різноманіття. Є й інший підхід – через формули; він не менш важливий, бо показує, чому різноманіття вискакують з самих різних математичних задач. Знову-таки почнемо з прикладу: спробуємо вирішити рівняння Х² + Y² = 1. Введемо на площині дві числові координати — X і У (як це роблять в школі, коли малюють графік Y = Х²) і пошукаємо на нашій площині ті точки, координати яких задовольняють нашому рівнянню. Виявляється, всі ці точки лежать на колі радіуса 1 з центром на початку координат. І це загальний факт: сукупність всіх рішень «досить хорошого» рівняння графічно становить різноманіття. А що буде, якщо рівняння «недостатньо хороше»? На це питання відповів Хідзукі Хіронака, філдсівський лауреат 1970 року; виявилося, що безліч рішень всякого рівняння є проекція одного різноманіття в інше.

Найпростіший приклад проекції – той білий візерунок в небі, який ми бачимо після виконання фігур вищого пілотажу на великій висоті. Літак, роблячи, наприклад, мертву петлю, не перетинає свій шлях, але ми, дивлячись на його слід, бачимо вдаваний перетин (звідси і слово «петля»). Сам же шлях літака – незамкнута крива в просторі, тобто одновимірне різноманіття. Чи можна задати його одним рівнянням, як ми задали коло на площині? Ні, не можна: одне рівняння в просторі задає не криву, а поверхню. Але ось система з двох рівнянь – вона дійсно задає просторову криву.

Однак чи всяку криву можна так задати? Про цю проблему думав ще Декарт – безуспішно. Лише через триста років вона набула чіткого алгебраїчного формулювання в гіпотезі Жана-П’єра Серра — філдсівського лауреата 1954 року. Ще десять років потому Майкл Атья (лауреат 1966 року) вказав вірний шлях до її вирішення; але тільки в кінці сімдесятих років математик Андрій Суслін зумів повністю вирішити цю давню задачу. Так непростий і несподівано багатий виявляється новий світ розмаїттів, якщо дивитися на нього крізь призму формул; цей підхід називається алгебраїчною геометрією, і шість премій Філдса увінчують останні успіхи молодих математиків у цій галузі.

Повернемося тепер до першого — наочно-геометричного — шляху в світ розмаїттів: це шлях топології, він також відзначений кількома Філдсовськими преміями. Рене Том, Джон Мілнор, Стефен Смейл, Сергій Новіков – що вони зробили, за що удостоїлися вищих математичних нагород? Все почалося з так званої «проблеми кобордизму»: питається, за яких умов різноманіття розмірності n буде межею іншого різноманіття-розмірності (n+1)? Наприклад, коло обмежує коло; сфера є межа кулі, тор — межа бублика, і навіть пляшка Клейна обмежує якесь тривимірне тіло. Є і не обмежуючі різноманіття: така, наприклад, «проективна площина» — одна з тих поверхонь, на яких реалізується неевклідова геометрія.

Як же вирішувати цю задачу – відрізнити обмежуючі різноманіття від не обмежуючих? Хочеться діяти в лоб: скласти список всіх розмаїттів даної розмірності, а в ньому виділити обмежуючі. Але, на жаль, перерахувати всі можливі розмаїття вдалося поки тільки в розмірностях 1 і 2. Одновимірних многовидів тільки два (пряма і окружність), а двомірних дуже багато. Правда, найважливіші з них — замкнуті поверхні — можна побудувати з деталей всього трьох сортів – сфери, тора і проективної площини. Це дозволяє вирішити проблему кобордизму в розмірності 2.

Рішення таке: назвемо дві поверхні кобордантними (тобто межуючими), якщо вони разом обмежують тривимірне тіло (як два підстави — циліндр). Виявляється, будь-яка замкнута поверхня кобордантна або проективної площини (і тоді вона нічого не обмежує), або сфери — тоді вона обмежує тривимірне різноманіття. Інакше кажучи, є тільки два різних кобордантних класи двомірних многовидів. Скільки ж таких класів буде у великих розмірностях, хоча б в розмірності 3?

Ніхто в світі не знав відповіді на це питання в 1951 році, коли молодий, перспективний французький математик Рене Том потрапив в автомобільну катастрофу і опинився на півроку прикутий до ліжка. Ні писати, ні малювати він не міг; тільки уява професійного геометра було вільною, та допомагала чіпка молода пам’ять. У цьому незавидному становищі Том мимоволі став подумки перебирати ті завдання, які йому давно не давали спокою. Була серед них і проблема кобордизму. Чому ж Тому раптом здалося, що він міг би її вирішити? Щось подібне він нещодавно читав… Звичайно, це була свіжа робота відомого математика Л. С. Понтрягіна! Там йшлося про обчислення того, що називають «гомотопічними групами сфер» (не буду давати визначення їх — стаття і так виходить вельми складна), дуже важливими для всієї математики, та й для фізики.

Наприклад, перша з цих груп складається з цілих чисел. З цього факту випливає, наприклад, що число коренів будь-якого алгебраїчного рівняння дорівнює його ступеню. Наступна гомотопічна група сфер складається з двох елементів: саме з цим пов’язана та обставина, що в природі є два головних типи елементарних частинок — бозони (фотон, гравітон та інші) і ферміони (електрон, кварк і т.д.). Так що дуже важливо вміти обчислювати гомотопічні групи сфер. І ось Понтрягін придумав наочно-геометричний спосіб такого обчислення – виявилося, що для цього треба вирішувати проблему кобордизму для особливих — «оснащених» — розмаїттів. Такий несподіваний зв’язок між гомотопічними групами сфер і кобордизмом многовидів привів Рене Тома до переконання, що і загальну проблему кобордизму треба вирішувати в дусі Понтрягіна.

Це Тому вдалося: виявилося, що будь-яке тривимірне різноманіття є кордоном чотиривимірного, що чотиривимірні різноманіття розпадаються на нескінченне число кобордантних класів. Після одужання Тому знадобилося лише кілька місяців для письмового оформлення своїх результатів, які швидко облетіли весь математичний світ. Це було в тому ж році, коли Крік і Уотсон розшифрували структуру ДНК, а Тенсінг і Хілларі зійшли на Еверест… Через п’ять років Рене Том став філдсівським лауреатом.

Вражаючий був резонанс роботи Тома: молоді топологи ніби з ланцюга зірвалися, раптом увірувавши, що настала пора рубати під корінь стародавні великі проблеми, на які за тридцять-сорок років всі звикли дивитися з боязкою повагою. І проблеми руйнувалися, як дуби. Молодий американець Стефен Смейл (чоловік швидкий, різкий, пристрасний) атакував стару проблему Пуанкаре: як влаштовані «гомотопічні сфери»? Ці загадкові різноманіття мають зі звичайною сферою одну загальну властивість: якщо виколоти з гомотопічної сфери одну точку, то весь залишок стягнеться в іншу точку (так лопається мильна бульбашка — двомірна сфера). На початку минулого століття Пуанкаре припустив, що цією властивістю володіє тільки «звичайна» N-мірна сфера, яка лежить в (n+1)-вимірному просторі.

Як же треба доводити гіпотезу Пуанкаре? Звичайна сфера (поверхня глобуса) склеюється з двох півкуль, кожна з яких розпрямляється в плоске коло — цей факт давно відомий картографам. Добре б довести, що будь-яка N-мірна гомотопічна сфера склеюється з двох n-мірних куль по їх загальному краю-екватору. А далі треба перевірити, що при будь-якому способі склеювання двох n-мірних куль по їх краю ми отримаємо n-мірну сферу. Обидва етапи цього шляху були пройдені молодими американськими математиками, але результати вийшли різні. Стефен Смейл довів, що будь-яка гомотопічна сфера досить великої розмірності (n>5) склеюється з двох куль. У малих розмінностях – 1 і 2 – цей факт майже очевидний, а ось «середні» розмірності 3 і 4 поки здолати не вдалося. Але залишимо їх у спокої, у великих розмірностях нас чекають куди більші несподіванки.

Виявилося, що, по-різному склеївши дві кулі по їх краю, ми можемо отримати різні гомотопічні сфери. Цей факт випадково виявив Джон Мілнор. Що він відчув при цьому? Важко вгадати: Мілнор — людина зовні абсолютно незворушна; думає він, мабуть, не швидко, але без помилок і без боязкості і дуже ясно пише. Швидше за все, Мілнор сприйняв своє несподіване відкриття як виклик долі: якщо ти задовольняєшся досягнутим, то будеш просто автором одного блискучого спостереження, а в історію математики увійде інше ім’я. Або ж приймай виклик, розширюй свій маленький прорив, вгадуй закономірність, що породила ці дивні гомотопічні сфери, класифікуй їх, щоб перестав бути таємничим той новий факт, про який ще вчора ніхто не підозрював. Мілнор впорався з гомотопічними сферами. Виявилося, що в кожній розмірності гомотопічних сфер може бути лише кінцеве число: 28 різних 7-мірних сфер, 8-мірних — тільки дві, зате 11-мірних — 992 і т. д.

Ці числа, як незабаром виявилося, знаходять застосування в квантовій теорії поля, виступаючи в ролі множників в розрахунках, що стосуються швидкості розпаду елементарних частинок. Мілнор запропонував спосіб явної побудови всіх цих чудовиськ і став першим філдсовскім лауреатом серед американців в 1962 році. Смейл був нагороджений пізніше – в 1966 році.

Третій лауреат – Поль Коен – зовсім іншого поля ягода. Він логік, єдиний логік, удостоєний премії Філдса. Настільки ж єдиний у своєму роді його результат: рішення континуум-проблеми. Формулювання її просте: чи існує безліч, набагато більше безлічі всіх натуральних чисел, але набагато менше, ніж безліч всіх точок прямої? Що тут означає слово «набагато» – довго пояснювати, але виявляється, що, наприклад, безліч всіх раціональних чисел хоч і більше, ніж безліч натуральних чисел, але не «набагато» більше. Континуум-проблема замучила ще свого винахідника – автора теорії множин Георга Кантора; і пізніше чимало математиків надірвалося в спробі її вирішити.

Тільки Курт Гедель зумів в 1934 році наполовину здолати це завдання: він довів, що існування такої «проміжної» безлічі не можна довести. Здавалося б, ясно: проміжної безлічі немає; але довести це не вдавалося протягом тридцяти років. І раптом грім з ясного неба: Коен довів, що існування проміжної безлічі не можна і спростувати. Це повторення горезвісної історії з п’ятим постулатом Евкліда: він незалежний від інших евклідових аксіом, і тому можливі багато різних несуперечливих геометрій — Евкліда, Лобачевського, Рімана. Виявляється, можливі також різні несуперечливі теорії множин – замість однієї, канторової, як хотілося б сподіватися майже всім математикам. Так, важка річ основи математики, і грізними бувають там відповіді на самі невинні питання…

Нарешті, Гротендік – ще один лауреат премії Філдса. Це звичайний геній з незвично трагічною долею. У 1944 році його вивели з фашистського гетто в Голландії — напівмертвого від голоду підлітка, який нічого не пам’ятав про своє колишнє життя, забулося навіть ім’я. Але особистість хлопчика не зруйнувалася в цьому пеклі: збереглося дитяче захоплення математикою, яке за роки страждань перетворилося в полум’яну пристрасть. Опинившись на волі, Олександр Гротендік (це ім’я він отримав від усиновителя – голландця) швидко увійшов до числа найбільш «працьовитих» і результативних математиків. Він володіє тією рідкісною і найціннішою для вченого здатністю до створення нових наук, яка відрізняла Давида Гільберта і Анрі Пуанкаре.

Правда, коло інтересів молодого фанатика більш вузьке – тільки алгебраїчна геометрія, зате тут він може все. Може використовувати найтонші і «незрозумілі» факти з теоретико-множинної топології і з теорії чисел; може внести величезний внесок в до-теорію або в гомологічну алгебру — раз вони йому знадобилися. Це особливий талант: схрещувати самі начебто віддалені наукові поняття, та так, що їх гібриди виходять працездатними, і не тільки стосовно до алгебраїчних різноманіть. Не дарма кажуть: найважче і корисне в математиці — вводити нові визначення, що випливають із суті справи. Ось в цій методологічній роботі Гротендіку немає рівних, тому головна його праця — «елементи алгебраїчної геометрії» — в фольклорі називають не інакше, як «Євангелієм від Гротендика».

Чому, справді, природа «говорить з нами на мові математики», а не на якійсь своїй мові з використанням математичних слів? Чи не тому, що математика є саме тою єдиною мовою, на якій ми запитуємо природу про всілякі зв’язки між її феноменами (самі ж феномени описуються на мовах «природних» наук)? У цьому випадку ми здатні почути тільки ті відповіді природи, які вона дасть нам на математичній мові, єдино зрозумілій для нас. І тоді стає очевидним зберігається невідомо, чому єдність математики (яка давно вже перейшла з «централізованого» стану у «федеративний») — це насправді пряме відображення єдності досліджуваної нами природи. У підсумку ми отримуємо нову зручну ознаку життєвості будь-якої математичної теорії: це її комплексність. Якщо новий результат виходить із застосуванням кількох різних ідей та фактів із віддалених галузей науки, це гарантія його високої загальнонаукової значущості та свідчення того, що він відображає справді глибокий природний зв’язок.

Саме такі роботи справедливо нагороджуються зараз і Нобелівськими, і Філдсівськими преміями. Система Філдса має, звичайно, свої недоліки: статут премії не передбачає нагородження групи математиків за спільно отриманий результат — в результаті багато чудових математичних відкриттів останніх років не відзначені вищими нагородами. Чимало також робіт, вплив яких в суміжних областях математики став помітний лише після того, як їх автори переступили сорокаріччя. Є й інші мінуси — будь-яка система нагород має їх, і краще за інших та, при якій можна випадково не отримати премію, але не можна випадково отримати її. Цій умові Філдсовські премії задовольняють, і вплив їх на розвиток математики в наші дні великий і благотворний. Ні, не так вже й багато лих зробив математикам ревнивий Нобель, коли помстився своєму щасливому супернику!

Автор: С. Смирнов, кандидат фізико-математичних наук.