Принцип максимуму в математиці та його значення

В 1696 році двадцятидев’ятирічний Йоганн Бернуллі висунув задачу, якій судилося відіграти визначну роль у розвитку однієї з найважливіших галузей математичного аналізу. Вона була на диво проста на перший погляд, ця задача. Дано дві точки А і В, що не лежать на одній вертикальній прямій. Потрібно було знайти форму кривої, по якій важка кулька скотиться без тертя з точки А в точку В у найкоротший час.

Незважаючи на гадану простоту, задача привернула увагу блискучих математиків того часу. Незабаром було дано три її рішення. Одне належало старшому братові Йоганна – Якобу Бернуллі. Інше надіслав Гійом Франсуа Лопіталь, а третє – великий Ньютон. Сам Йоганн Бернуллі теж знав рішення своєї задачі.

Ним виявилася зовсім не похила пряма АВ, як могло здатися з першого погляду. На такій прямій швидкість руху кульки наростає порівняно повільно. Можна запропонувати скільки завгодно кривих, за якими «подорож» з А в В займе менше часу. Такі криві повинні крутіше спускатися з точки А вниз, щоб швидкість руху наростала швидше і велика частина шляху була пройдена стрімкіше.

Але швидше за все кулька скотиться по лінії «найкоротшого часу» – брахістохрони. В даному випадку нею служить циклоїда з горизонтальною основою і точкою повернення в А. Задача про брахістохрону, поставлена Іоганном Бернуллі, послужила потужним поштовхом для розвитку варіаційного числення – одного з наймогутніших інструментів в руках сучасних фізиків і механіків. Воно вивчає методи знаходження найбільших і найменших значень так званих функціоналів – змінних величин, що залежать від вибору тієї чи іншої, а іноді і декількох відразу функцій.

Найпростіший приклад функціоналу – довжина кривої. Поєднуючи дві точки різними лініями, ми одержимо криві різної довжини. Отже, довжина “шляху” з А в В є змінною величиною, яка залежить від вибору кривої, тобто вибору функції, що визначає рівняння цієї кривої.

Функціоналами будуть і площа, обмежена замкнутою кривою, і обсяг, укладений всередині деякої поверхні, і тисячі інших важливих для практики величин. Прикладне значення варіаційного обчислення надзвичайно велике. Багато найважливіших положень фізики і механіки формулюються у вигляді варіаційних принципів.

На одній з фабрик, наприклад, треба було зробити транспортер, щоб передавати кільця з верхнього поверху на нижній, з одного кута величезного залу в інший. Автори проекту вирішили використовувати для цього похилий жолоб, по якому кільця самі скочуються вниз. Все вирішувалося б дуже просто, але потрібно було виконати ще невелику, але природну, додаткову умову: час на скочування має бути мінімальним. І відразу ж виникло питання: як для цього прокласти жолоб?

Якщо просто з’єднати «пункт відправлення» з «пунктом призначення» прямою лінією, то завдання буде вирішене не найкращим, не найоптимальнішим способом. Дійсно, по такому жолобу кільця стануть розганятися повільно і тому витратять на свою «подорож» зайвий час. Краще вчинити інакше: зробити на початку жолобу дуже крутий нахил, щоб кільця стрімко набирали швидкість. А потім вже може слідувати значно більш полога ділянка. Розігнані кільця швидко проскочать її.

Це, звичайно, міркування «на пальцях». І на такій сумнівній основі навряд чи можна вирішувати долю технічного проекту. Але в даному випадку немає потреби базуватися на ній. Варіаційне числення дає найкраще, оптимальне рішення цієї задачі з абсолютною точністю: жолоб потрібно прокласти по так званій «кривій якнайшвидшого спуску». І як би ви не фантазували, як би не ухитрялися, які б інші шляхи не пропонували, по кривій якнайшвидшого спуску кільця скотяться швидше за все.

На жаль, далеко не завжди варіаційне числення може дати таке просте рішення для реальних інженерних задач. У житті все виявляється набагато складніше.

Життя любить крайнощі

Варіаційне числення легко знайшло найвигідніший профіль жолоба для скочування кілець. Але це зовсім не означає, що зраділі інженери негайно побіжать в майстерню замовляти деталі транспортера. Дуже може бути, що математичне рішення не тільки не потішить їх, а навпаки, повалить в зневіру. Адже конструкція будівлі – її перекриття, підлога, стіни, вже не кажучи про розташування обладнання, можуть не дозволити прокласти жолоб так, як вимагає невблаганне рівняння, що не визнає ніяких реальних обмежень.

Ну, а як же все-таки треба розташувати транспортер, щоб обігнути зустрінуті на його шляху перешкоди і в той же час забезпечити скочування кілець в найкоротший термін? Класичне варіаційне числення безсиле в цьому випадку. Коли немає ніяких обмежень, ніяких перешкод, будь ласка, – воно готове негайно прийти на допомогу. Але якщо реальне життя накладає на завдання свої умови, його рівняння втрачають силу і виявляються марними.

Ось ще найпростіший приклад. На шляху будівельників залізниці зустрівся глибокий і широкий яр. Його можна повністю засипати і зробити дорогу ідеально рівною. Але можна зробити й інакше: на підступах до яру вирити траншеї і пустити потяг у виїмках. Нарешті, що заважає скомбінувати обидва ці способи? Як же бути? Як найкраще провести магістраль, щоб вартість її виявилася найменшою?

Це, ймовірно, здасться дивним, але до самого останнього часу математика була не в змозі строго вирішити такий «приклад», хоча по необережності ми і назвали його «найпростішим».

Вся біда в тому, що ми прокладаємо дороги не всемогутнім всюдиходам, а звичайним локомотивам. І суворі інструкції наказують: ухил шляху не може бути більше якогось максимально допустимого значення. При цих обмеженнях здоровий глузд підказує цілком природне рішення: треба скористатися саме цими граничними ухилами, прокласти дорогу під максимально допустимим кутом. Це і буде оптимальним рішенням, – стверджує здоровий глузд.

А ось класичне варіаційне числення – сувора математична наука – говорить інше. Воно вважає, що оптимального рішення в даному випадку взагалі немає. Принаймні, при тих припущеннях, які необхідно зробити, щоб скористатися його методами. Справа в тому, що чудово відточена, прекрасно відшліфована зброя класичного варіаційного обчислення вироблена в припущенні, що оптимальне рішення лежить десь в «середині» можливостей, а зовсім не на самому краю. І таких-то «крайніх» рішень варіаційне числення просто-напросто не помічає. Їх для нього не існує. Тим часом такі завдання зустрічаються не тільки у будівельників залізничних магістралей.

На кордоні допустимого

… Розбігшись по злітній смузі, сріблястий гігант злетів в небо і, ревучи моторами, взяв курс на північний захід. Маршрут невеликий для такого корабля – всього-то сімсот кілометрів. І упущені хвилини тут не надолужиш. Тому особливо важливо не випустити їх. Але ось як це зробити? Забратися на граничну висоту, де опір повітря менше і швидкість помітно вище, ніж над самою землею? Але тоді втратиш масу часу на зліт і посадку. Летіти над самою землею? Але тут швидкість польоту куди нижче, ніж на висоті десять-одинадцять кілометрів. Так як же вести літак, як управляти двигунами, положенням рулів? Ясно лише одне: всі можливості машини треба використовувати до кінця, працювати на «граничних» режимах. А раз так, то рішення марно шукати за допомогою класичного варіаційного числення.

Багато і багато завдань зводяться до таких же «некласичних» проблем. Як вести космічну ракету до Венери, щоб витратити найменше пального і не вивести з ладу двигуни надмірним навантаженням? Як управляти приводом величезного блюмінга, щоб швидше за все реверснути машину? Що робити, якщо могутня домна чи грандіозна хімічна установка вийшли із заданого режиму? Кожна хвилина їхньої «неправильної» роботи губить величезну кількість сировини. Необхідно за всяку ціну, граничним використанням всіх можливостей повернути агрегат в потрібний режим за найкоротший час.

Якщо ми збираємося керувати якимось об’єктом, то абсолютно очевидно, що він повинен мати «рулі» – пристрої, які дозволяють змінювати його рух. Положення «рулів» теж характеризується числами. Це може бути і кількість палива, що подається в двигун, і сила струму, і кут нахилу елеронів літака. Тому управління об’єктом можна записати у вигляді послідовності цифр, що описують стан «рулів» за час руху.

Будь-яка реальна машина обмежена в своїх можливостях. Не можна подавати в двигун занадто багато пального – вона «захлинеться». Точно так само не можна підвести в електромотор дуже великий струм – згорить обмотка. Отже, цифри, характеризують стан «рулів», не можуть бути більше якихось граничних значень. Але рівні цим граничним значенням вони можуть бути.

Цілком очевидно, що, прийнявши якесь управління, тобто записавши послідовні положення «рулів», ми змусимо свій об’єкт зробити цілком певний рух. Скажімо, задавши автопілоту режим роботи двигунів і порядок включення механізмів повороту, спуску і підйому, ми тим самим визначимо якусь траєкторію літака, і тоді на переліт буде потрібно якийсь час. При іншому управлінні траєкторія буде іншою і на політ піде інший час.

Існує таке управління, при якому на подорож знадобиться найменше часу. Це управління і буде оптимальним за швидкодією. Вчені довели, що оптимальним є таке управління, і така траєкторія, які зробили максимально деякі математичні вирази.

Щоб не йти в ті самі нетрі, де математики «втрачають» своїх родичів, ми не станемо виписувати цю сакраментальну формулу. А просто згадаємо старий шкільний жарт про «піфагорові штани».

Десь на самому початку геометрії ми дізнаємося про те, що якщо трикутник прямокутний, то його боки задовольняють теоремі Піфагора: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І тепер, якщо нам скажуть, що у трикутного городу одна сторона дорівнює А метрам, інша – В, а третя – С, і якщо ми помітимо, що А2 + В2 = С2, то, що не дивлячись на план, ми можемо сміливо стверджувати, що город має форму прямокутного трикутника.

Щось аналогічне відбувається і тут: якщо управління оптимально, то воно задовольняє принципу максимуму, знайденому математиками. За формулюванням принцип максимуму нагадує теорему класичного варіаційного числення: якщо рішення існує, то воно задовольняє рівнянню Ейлера (а в більш складних випадках аналогічним рівнянням).

Однак принцип максимуму набагато могутніший. Він, зокрема, допускає і рішення, що лежать на кордоні можливостей. Тому всі ті завдання, про які ми говорили, нерозв’язні з точки зору варіаційного обчислення, тепер вирішуються стандартним прийомом, що не вимагає вже ніяких хитрощів.

Методи, запропоновані вченими, по суті, заклали основу нового відділу вищої математики. Причому класичне варіаційне числення Ейлера, Вейерштрасса і Лагранжа виявляється всього лише окремим випадком цієї теорії.

Жодна математична теорія не всемогутня. А тим більше молода. Принципу максимуму не так вже багато років. Але вже зараз його успіхи надзвичайно великі. Сьогодні принцип максимуму дозволяє вирішувати безліч важливих для практики задач. Але його творці дивляться далеко вперед і висувають завдання неймовірної складності. Скажімо, пошуки оптимального управління випадковими процесами. Правда, строго вирішити задачу про управління абсолютно випадковим явищем поки не вдалося. Але якщо воно підпорядковується хоча б законам теорії ймовірності, відповідь може бути дана абсолютно точна.

Собаки та вища математика

Якби собаки знали вищу математику, а в особливості володіли б варіаційним обчисленням, полювання, напевно, протікало б набагато успішніше. Скажімо, ви підняли зайця, і собака кинулась за ним. Мисливський інстинкт змушує її бігти весь час «на дичину», вона мчить так, щоб заєць весь час був на її шляху. І з точки зору математики, собака допускає грубу помилку. Якщо вже поставити собі за мету наздогнати зайця в найкоротший час, бігти треба інакше. Потрібно мчати по особливій кривій, яка так і називається – лінія погоні.

Ще з часів великих математиків Ейлера і Вейерштрасса вчені почали цікавитися подібними завданнями і створили цілу галузь науки – варіаційне числення. Вирішує воно дуже цікаві проблеми, і завдання з собакою, звичайно, всього лише жарт. Але цей жарт дозволяє заглянути в суть ідей варіаційного обчислення. Сила-силенна технічних питань багато в чому нагадує гонитву собаки за зайцем.

Автор: Л. Юр’єв.