Цікава математика. Розповідь про лицаря де Мере.
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Один французький лицар, кавалер де Мере, був пристрасним гравцем у кістки. Він всіляко намагався розбагатіти за допомогою гри і для цього придумував різні ускладнені правила, які, як йому здавалося, приведуть його до мети. У той час прагнення розбагатіти за допомогою азартних ігор охоплювало, як хвороба, багатьох людей. Де Мере придумав, зокрема, такі правила гри. Він пропонував кинути одну кістку чотири рази поспіль і бився об заклад, що при цьому хоча б один раз випаде 6; якщо ж цього не траплялося, – жодного разу не випадало 6 очок, – то вигравав його супротивник. Точне значення ймовірності того, що в цих умовах випаде 6 в той час було невідомо, хоча було видно що воно близьке до 1/2. Де Мере припускав, що він буде частіше вигравати, ніж програвати, але все ж звернувся до свого знайомого, одного з найбільших математиків XVII сторіччя – Блеза Паскаля (1623-1662) з проханням розрахувати, яка ймовірність виграшу у вигаданій ним грі.
Наведемо розрахунок Паскаля. При кожному окремому киданні ймовірність випадання 6 дорівнює 1/6. Імовірність же того, що не випаде 6 очок, дорівнює 5/6. Далі, нехай ми кинемо кістку двічі. Повторимо досвід, що складається у двократному киданні кістки. Тоді наша ймовірність в 5/6 збільшиться в квадраті і становитиме 25/36. Точно так само показується, що ймовірність того, що жодного разу не випаде 6 при триразовому киданні кістки, дорівнює 125/216 (вже в кубі). Нарешті, ймовірність того, що при чотириразовому киданні жодного разу не випаде 6, дорівнює 625/1296 (в четвертій степені). Таким чином, для лицаря де Мере ймовірність програшу дорівнювала 625/1296 тобто менше 1/2. Отже, ймовірність виграшу була більше половини. Значить, при кожній грі більше половини шансів було за те, що лицар виграє; при багаторазовому ж повторенні гри він майже, напевно, опинявся у виграші.
Дійсно, чим більше лицар грав, тим більше він вигравав. Кавалер де Мере був дуже задоволений і вирішив, що він відкрив вірний спосіб збагачення. Однак поступово іншим гравцям стало ясно, що ця гра для них невигідна, і вони перестали грати з де Мере. Треба було вигадувати якісь нові правила, і де Мере придумав нову гру. Він запропонував кидати 2 кістки 24 рази і бився об заклад, що зверху, хоча б один раз, виявляться дві п’ятірки. Де Мере вважав, що і в цій грі він буде частіше вигравати, ніж програвати.
Але на цей раз лицар помилився. Імовірність одночасного випадіння двох п’ятірок при киданні двох кісток дорівнює 1/36, оскільки всього можливих випадків 36. Тому ймовірність того, що не випадуть дві п’ятірки, дорівнює 35/36. Ймовірність того, що при 24-кратному киданні двох кісток жодного разу не випадуть дві п’ятірки, дорівнює відповідно 35/36 у двадцять четвертому ступені, що більше 1/2. Отже, для лицаря ймовірність програшу була більше половини. Це означало, що чим більше лицар гратиме, тим більше він буде програвати. Так і сталося. Чим більше він грав, тим більше розорявся і, врешті-решт, зробився жебраком.
Найцікавіше в цьому історичному анекдоті полягає в тому, що завдяки таким своєрідним «практичним запитам» з’явилась теорія розрахунку випадкових явищ. У XVII і XVIII ст. вчені дивились на ці приклади як на «кумедні випадки» додатку математичних знань до явищ, які не мають широкого розповсюдження. Адже гравець в кості, який мріє про багатство, ніяк не заслуговує, щоб на допомогу йому була створена спеціальна наука. Але виявилося, що область додатків теорії ймовірностей дивовижно широка. Теорія ймовірностей займається вивченням всіх масових явищ, тобто всіх часто повторюваних випадків, в якій би області життя, науки чи техніки вони не зустрічалися.
P. S. Про що ще думають британські вчені: про це, що герою нашої статі – лицарю де Мере аби розбагатіти не в азартні ігри треба було грати, а зайнятись якоюсь корисною справою. Нехай навіть монтажем унітазів, на які попит у Європі з’явився ще в далекому 17-му столітті, а може пізніше його нащадки створили б сайт /santehnika.org.ua/sanfajans/unitazy-kompakty де можна придбати оці вироби найкращої якості та за доступною ціною.
Автор: Павло Чайка, головний редактор журналу Пізнавайка
При написанні статті намагався зробити її максимально цікавою, корисною та якісною. Буду вдячний за будь-який зворотний зв'язок та конструктивну критику у вигляді коментарів до статті. Також Ваше побажання/питання/пропозицію можете написати на мою пошту pavelchaika1983@gmail.com або у Фейсбук.