Досконалі числа

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Стародавні греки першими встановили, що число «6» дорівнює сумі всіх дільників, виключаючи саме це число: 6 = 1 + 2 + 3. Через це властивості вони назвали число «6» досконалим і поставили питання, скільки всього існує досконалих чисел?

Легко було виявлено перевіркою друге досконале число «28»: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Потім Евклід довівши що всяке число, яке може бути представлено у вигляді добутку 2^n-1 (2ⁿ-1), де 2ⁿ-1 є простим числом, є досконалим числом. У разі n = 2 і n = 3, числа 2²—1=3 і 2³—1=7 прості, тому 2¹ (2² — 1) = 6 і 2² (2³ — 1) = 28 – досконалі числа. Формула допомогла виявити ще два досконалих числа (n = 5, n = 7).

Але відшукання подальших досконалих чисел цим способом здавалося справою важкою. Микола Геразський (I століття н. е.) писав: досконалі числа красиві. Але відомо, що красиві речі рідкісні і нечисленні, потворні ж зустрічаються в достатку. Надлишковими і недостатніми є майже всі числа, в той час як досконалих чисел небагато.

Протягом сторіч автори, які писали про досконалі числа, цікавилися більше забобонами і фантазіями, пов’язаними з цими числами, ніж їх математичною природою. Наприклад, в діалогах Платона число «6» займає особливе місце. У римлян на бенкетах найпочеснішим місцем було шосте.

У Римі при підземних роботах в 1917 році була виявлена споруда – загальний зал з келіями навколо нього. Виявилося, що ця будівля – приміщення неопіфагорійської академії, в якій було 28 членів.

За релігійними переказами світ був створений за 6 днів. Англійський богослов VIII століття Алкуїн вчив, що людство, що пішло після потопу від 8 осіб, які перебували у ковчезі Ноя, менш досконале, ніж до потопу, так як «8» – число недосконале. У XII столітті церковники рекомендували вивчення досконалих чисел для спасіння душі.

Якщо перші чотири досконалих числа були відомі в далекій давнині, то п’яте досконале число (n=13, 2¹²(2¹³—1) =33 550 336) було виявлено лише в XV столітті, більш ніж через півтори тисячі років після Евкліда.

У 1644 році французький математик Марін Мерсенн оголосив, не наводячи доказу, що першими одинадцятьма досконалими числами виду 2^n-1 (2ⁿ-1) є числа, що відповідають наступним значенням n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67, 127, 257. Математикам того часу було очевидно, що Мерсенн не міг перевірити безпосереднім обчисленням простоту чисел 2ⁿ-1 при всіх зазначених значеннях n. Безпосередньо вдалося перевірити тільки перші три із зазначених Мерсенном шести нових досконалих чисел. Вони дійсно виявилися досконалими. Ось ці числа: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

У 1876 році французький математик Е. Люка вказав метод, що дозволяє перевірити простоту числа без виконання поділу його на всілякі прості дільники. Він же встановив, що число 2¹²⁷—1 є простим числом. Цей результат був правильно передбачений Мерсенном, однак в інших випадках він помилився. Було встановлено, що показники n = 67 і n = 257 всупереч вказівці Мерсенна не дають досконалих чисел, але їх дають не зазначені Мерсенном показники 61, 89 і 107.