Парадокс Кондорсе
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Троє друзів вирішують, як їм провести вечір. Один вважає за краще театр, інший – кіно, третій – цирк. Але ніхто на своєму особливо не наполягає, згоден, на худий кінець, піти з друзями куди завгодно. Тим більше, що вони не знають, куди легше дістати квитки. Андрій пропонує такий маршрут: спочатку до кас театру, потім кіно, а потім цирку. Борис вважає інакше: цирк, театр, кіно. Побажання Вадима: кіно, цирк, театр. Ну що ж, доведеться вирішувати голосуванням. Куди захоче більшість, туди всі і підуть.
Отже, театр або кіно? Андрій і Борис віддають перевагу театру, тільки Вадим – кіно. Двома голосами проти одного театр бере гору над кіно. Кіно або цирк? Андрій і Вадим більше схильні піти в кіно, Борис – в цирк. Більшістю голосів вибирається кіно.
Цирк або театр? Двома голосами проти одного приймається рішення піти в цирк. Ви вже помітили, напевно, що голосування нічого не дало. Не ясно, чого ж хоче більшість. Йти в кіно? Однак за театр адже було віддано більше голосів. Тоді – в театр? Але за цирк висловилося більше, ніж за театр. У цирк піти? Результати голосування показали, що більшість віддає перевагу не цирку, а кіно. Словом, вийшло замкнуте коло.
Дивному парадоксу, що виникає при підрахунку голосів за і проти, французький філософ і математик Кондорсе присвятив в 1785 році велике дослідження. Ось ще приклад парадоксу, названого іменем цього математика.
60 депутатів парламенту мають вибрати собі голови з трьох кандидатур. Для простоти позначимо їх першими літерами прізвищ: А, Б і В.
Зазвичай таємне голосування в таких випадках проводиться таким шляхом: кожен депутат пише прізвища кандидатів в порядку їх переваги для нього. У нас можливі шість комбінацій: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Наводимо п’ять з них. 23 голоси – за послідовність АБВ, 2 голоси – за послідовність БАВ, 17 голосів – за послідовність БВА, 10 голосів – за послідовність ВАБ, 8 голосів – за послідовність ВБА.
Виходить, А краще Б для 33 депутатів, Б переважніше А для 27 депутатів, Б переважніше У для 42 депутатів, В краще Б для 18 депутатів. І, нарешті, В краще А для 35 депутатів, А краще В для 25 депутатів.
Іншими словами, А більш відповідний більшості кандидат, ніж Б, Б більш відповідний, ніж В, а В більш відповідний, ніж А.
Ми знову опинилися в замкнутому колі. Результат голосування незрозумілий, знову парадокс Кондорсе. Статистика показує, що цей парадокс виникає в 6-9 випадках з 100 голосувань по системі переваг. Пошуків виходу в подібних ситуаціях присвячено чимало математичних досліджень. Але поки все безрезультатно.
Автор: Г. Макаревич.