Теорія множин в математиці та континуум проблема
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Якщо у вас дві множини, в кожній з яких нескінченне число елементів, то як відповісти на питання, яке з множин “більша”? Тут приходить на допомогу ідея відповідності. Коли тисяча глядачів входить в кінотеатр, то кожен легко знаходить місце, відповідне купленого їм квитка, так як місця в кінотеатрі пронумеровані. Завдання з’ясування відповідності вирішує і контролер в електропоїзді. Якщо ви подасте йому два десятки квитків і скажете, що ці квитки «на всіх», він, мабуть, не впорається зі своєю роботою. Але варто кожному взяти в руки свій квиток, як безбілетник тут же виявиться. Хоча математики мають справу з числами, а не з залізничними «зайцями», ця ідея послужила їм велику службу. Дві множини, кажуть математики, можуть відрізнятися кількістю елементів, що входять в них, тобто потужністю. Безліч, що складається з тисячі крісел, і безліч, що складається з тисячі глядачів, мають однакову потужність.
Уявіть собі тепер глядацький зал, в якому нескінченне число місць. Всі ці місця занумеровані поспіль, і у кожного глядача в руках квиток, на якому вказаний номер його місця. На парних місцях сидять жінки, а на непарних — чоловіки. У перерві чоловіки вийшли у фойє, а жінки вирішили поговорити і сіли ближче. Та жінка, яка сиділа на місці з номером 2, пересіла на місце з номером 1, жінка з четвертого місця перебралася на друге, з шостого – на третє, з сотого – на п’ятдесяте, з тисячного — на п’ятисоте і т. д. Коли чоловіки повернулися в зал для глядачів, то, на свій крайній подив, виявили, що в залі немає жодного вільного місця.
Ви скажете — парадокс: глядачів стало в два рази менше і в той же час залишилося стільки ж. Але що значить для нескінченної безлічі «в два рази менше»? Зменшимо її в сто, в мільйон разів, вона все ж залишиться нескінченною.
Якщо ви звикли працювати з числовою віссю, ви знаєте, що цілі числа можна нанести на неї, залишивши між ними однакові проміжки. Числова вісь нескінченна, і всі цілі позитивні числа на ній вмістяться. Однак проміжок між кожними двома сусідніми числами можна розділити навпіл, і ми отримаємо нові точки. Потім кожен новий проміжок можна ділити ще й ще навпіл, цей процес буде тривати без кінця. Можна ділити не навпіл, а на три, на п’ять, на сім, одинадцять частин, і кожен раз будемо отримувати точки, яких не було раніше. Здавалося б, після такої процедури вся числова вісь буде суцільно поцяткована. Але навіть якщо ми нанесемо на неї всі раціональні числа (тобто всі числа, які виражаються дробами), ми отримаємо безліч такої ж потужності, як безліч натуральних чисел 1, 2, 3, 4…
Іншими словами, раціональних чисел стільки ж, скільки і натуральних. Щоб переконатися в цьому, досить розмістити всі раціональні числа по своїх місцях. Кожне раціональне число можна записати у вигляді відношення двох цілих чисел: p/q. В перше крісло ми помістимо число, у якого p + q = 2. Таке число одне, а саме одиниця: 1 — 1/1. Чисел, у яких р + q = буде два: 1/2 і 2=2/1. Перше з них ми помістимо в крісло з номером 2, друге — в крісло з номером 3, наступні місця займуть числа, для яких рq = р + q = 5 і так далі.
При цьому з двох чисел з однаковою сумою чисельника і знаменника ми спочатку забезпечимо місцем, у якого чисельник менший. В результаті всі позитивні раціональні числа можна буде розмістити в залі, де є місць не більше, ніж натуральних чисел. Більше того, багато місць виявляться вільними. Наприклад, серед чисел, для яких р + q = 4, тільки два числа 1/3 і 3 будуть новими; число ж 2/2= 1 вже отримало своє місце раніше.
Ми довели зараз важливу теорему про те, що безліч раціональних чисел, як кажуть математики, «лічильна», тобто має таку ж потужність, як безліч натуральних чисел. На перший погляд може здатися, що будь-яка нескінченна безліч лічильна. Однак це не так, що було встановлено математиком Кантором. Виявилося, що безліч всіх дійсних чисел незліченна; іншими словами, всі дійсні числа не можна занумерувати. Математики слідом за Кантором кажуть, що безліч всіх дійсних чисел має потужність континууму. З допомогою ідеї відповідності неважко довести, що ту ж потужність континууму має і безліч точок на відрізку і безліч точок на площині. Кантор розвинув свою теорію далі. Він побудував безлічі, що мають більшу потужність, ніж континуальні безлічі.
Однак питання про те, чи існують безлічі, потужність яких укладена строго між потужністю безлічі натуральних чисел і потужністю безлічі всіх точок відрізку залишалося відкритим.
Багато десятиліть математики безуспішно намагалися довести гіпотезу, що континуальні множини потужності являють собою сходинку, безпосередньо наступну за рахунковими множинами. Це питання так хвилювало математиків, що континуум-гіпотеза була названа Д. Гільбертом першою серед поставлених ним у 1903 році фундаментальних проблем математики.
У тридцятих роках відомий математик Гедель піддав континуум-гіпотезу випробуванню з допомогою новітніх засобів математичної логіки. Він виявив, що ця гіпотеза не може бути виведена на основі аксіом арифметики і теорії множин. Надії математиків знайти безлічі проміжної потужності відродилися. Проте численні конструкції; що пропонувалися протягом останніх тридцяти років, незмінно виявлялися помилковими.
І ось проблемою зайнявся американський математик Поль Коен. Вивчаючи роботи Геделя, Коен зрозумів, що тільки математична логіка може дати відповідь на проблему континууму. Якщо континуум-гіпотеза не може бути доведена на основі аксіом арифметики і теорії множин, то, може бути, її вдасться спростувати? Важке математичне щастя! Сотні, іноді тисячі годин напружених роздумів проходять, перш ніж вчений приходить (якщо приходить!) до наміченої мети. Коену, як він сам каже, «пощастило». Менше року роботи над континуум-проблемою, і він виявив вражаючий за своїм характером факт: континуум-гіпотеза не може бути ні доведена, ні спростована.
Вона є самостійною аксіомою, що не залежить від інших. Іншими словами, можна будувати теорію множин, в якій континуум-гіпотеза має місце, а можна обійтися без неї, прийнявши протилежну пропозицію, — тільки це вже буде «інша» теорія множин.
За своїм характером результат Коена можна порівняти з відкриттям геометрії Лобачевського. Пам’ятаєте, там теж встановлювалася незалежність аксіоми паралельності (або V постулату Евкліда) від інших аксіом геометрії. Якщо з повного списку аксіом геометрії, зазначеного Д. Гільбертом, викинути на час аксіому паралельності, то ми отримаємо «бідніший» список аксіом, з яких, однак, можна вивести ряд теорем. Це будуть, наприклад, ті теореми, які доводяться в шкільному курсі геометрії до аксіоми паралельності. Понад 2000 років математики намагалися вивести аксіому паралельності (або еквівалентний їй V постулат Евкліда) з інших аксіом, тобто довести як теорему. Адже саме так йшла справа з континуум-гіпотезою, яку безуспішно намагалися вивести з аксіом арифметики і теорії множин?!
Після відкриття Лобачевського і наступних за ним робіт Бельтрамі, Келі, Клейна, Гільберта стало ясно, що евклідову аксіому паралельності не можна ні довести, ні спростувати на підставі інших аксіом геометрії. Додавши аксіому паралельності до інших аксіомам, ми отримуємо струнку, несуперечливу теорію — евклідову геометрію, з якою знайомий кожен старшокласник. Але, додавши замість евклідової аксіоми паралельності протилежну пропозицію (через точку, що лежить поза прямою, проходять в площині не менше двох прямих, що не перетинаються з даною), ми отримуємо не менш струнку і також несуперечливу теорію. Тільки це буде вже інша геометрія — геометрія Лобачевского.
В одній геометрії поряд з іншими аксіомами виконується аксіома паралельності, в іншій геометрії як і раніше справедливі всі інші аксіоми, але евклідова аксіома паралельності місця не має. Це і означає, що аксіому паралельності неможливо ні довести, ні спростувати, виходячи з інших аксіом геометрії. І, як встановив Коен, в такому ж становищі знаходиться континуум-гіпотеза по відношенню до решти аксіом арифметики і теорії множин.
У науці часто буває так: довгий час якась проблема залишається непорушною, не піддаючись наполегливим атакам вчених. І раптом одночасно її рішення знаходять зовсім не пов’язані один з одним люди, причому приходять до нього різними шляхами. Так сталося і з континуум-гіпотезою.
Автор: В. Болтянський.