Фізики проти математиків

Всім знайомий складний прикметник «фізико-математичний». Для людини сторонньої обидві науки зливаються в щось єдине. Таке уявлення, однак, надзвичайно застаріло, можна додати: на жаль. Між фізикою і математикою, точніше, між тим, чим займаються фізики, і тим, чим займаються математики, пролягла глибока прірва, не менш серйозна, ніж горезвісна прірва між «фізикою» і «лірикою».

Ця прірва виникла не з злого умислу або недогляду, а в силу причин, настільки ж глибоких, як і вона сама. Фізика й математика — науки різні за своєю природою. Завдання фізики — вивчати закономірності реального світу. Математика — лінгвістична дисципліна. Цю її властивість гранично ясно висловив Гіббс, один з перших фізиків-теоретиків. При обговоренні питання про те, чому слід приділяти найбільшу увагу при навчанні студентів — математиці або мовам, Гіббс, перервавши своє одвічне мовчання, сказав просто і коротко: «Математика — це мова».

Математика, звичайно, мову іншого роду, ніж латина або англійська: це природна мова, мова, якою говорить природа, або, у всякому випадку, мова, на якій фізики записують голос природи. Тому конфлікт між математикою і фізикою міг би розглядатися як конфлікт між формою і змістом мови, між її структурою і семантикою. Граничним вираженням такого конфлікту була б спустошеність на одному полюсі і німота — на іншому.

Прості правила утворення і поєднання слів в принципі вже містять в собі все мовне багатство. Так і елементарні математичні дії — додавання, множення і диференціювання — це запорука і зародок всього багатства математики. Математика, позбавлена одної з елементарних дій, — все одно що, скажімо, мова, що не знає часів дієслів.

Звичайно, подібність математики з життєвими мовами простежується лише до певної точки. Математиці, наприклад, властива точність і однозначність висловлювань; цю властивість вона зберігає, навіть описуючи безлад і гру випадковостей. Але, як і всяка велика література, математика, вибудовуючи слова (свої слова) в ряд, отримує щось незмірно більше, ніж слова. Штучна конструкція оживає, в кінці тунелю викладок видніється денне світло, і розгадкою ребуса виявляється життя.

Поезія і формули

Вірш великого поета значить багато більше, ніж випливає з сенсу використаних слів та зв’язків між ними. Цієї «додаткової інформації» не висловити в бітах. Звідки вона береться? За віршем стоїть весь досвід мови, пристосованої для вираження людських почуттів. І ще за ним стоїть досвід поета, зануреного в життя і сприймаючого його. «Кількість інформації», здатна проникнути через ці канали, практично необмежена.

Я навмисне користуюся при описі поезії «науковим» (з відтінком псевдонауки) жаргоном — поетичні вирази варто приберегти для математики. Що ж математика? Подобою поетичного відкриття служить відкриття, зроблене математичними засобами. Коли Максвелл у результаті математичних перетворень прийшов до висновку про існування електромагнітних хвиль, здатних поширюватися зі швидкістю світла, і коли з’ясувалося, що ці хвилі, відкриття «на кінчику пера», дійсно існують, — це і було прикладом стрибка вище своєї голови, «знаком якості» великої літератури. Геній Максвелла був би марний, якщо б не існувало мови, пристосованої для вираження законів природи, якби математика не була природною мовою.

Можливість «відкриттів на кінчику пера» завжди вражала людей, причому найбільше тих, хто ці відкриття робив. Коли Дірак говорив про це диво на публічній лекції, він весь світився, називаючи математику прекрасною. У свій час Дірак розгледів у безглуздому з вигляду, «зайвому» корені своїх рівнянь нову частинку — позитрон. Дивлячись на Дірака, можна було зрозуміти, яке це неймовірне щастя — народити, подібно Зевсу, частинку світу з своєї голови. Ніщо не розбурхує уяву сильніше таких відкриттів, і пам’ять про них дбайливо зберігається поколіннями, як шанується та оберігається поезія рідної мови.

Формули і поезія

Не слід думати, що «незрима рука», яка допомагає фізику-теоретику, — це лише уречевлена праця творців обчислення, які підготували необхідні мовні форми. Почерк тієї ж руки простежується і всередині самої математики.

«Поезія» — це сміливе і часом суперечливе здоровому глузду розширення можливостей математичної мови. Типовий шлях «поетичного відкриття» в математиці — це «незаконне» поширення відомих математичних операцій на нові об’єкти. Результат подібного відкриття спочатку здається безглуздим, теоретично неприйнятним і, в кращому випадку, лише практично корисним. Обґрунтування приходить потім. Саме так була справа з комплексними числами (а ще раніше — з негативними та ірраціональними).

Що таке квадратний корінь з мінус одиниці? Здавалося б, такого числа немає. Було два способи впоратися з цією ситуацією. Перший — сказати, що операція добування кореня законна лише стосовно до позитивних чисел. Другий — ввести новий сорт чисел; таких, щоб ця математична дія мала сенс завжди. Останнє дає математичній мові свободу вираження, і тому саме вона виявляється єдино плідною. Хоча числа нового типу були сором’язливо названі «уявними», цей термін давно вже не сприймається в буквальному сенсі слова: заслуги «уявних» чисел у пізнанні законів природи настільки великі, що їх неможливо вважати числами «другого сорту» в порівнянні із звичайними, «дійсними». І фізики, і математики всюди користуються єдиним поняттям «комплексного числа». Краще за всіх сказав про народження уявних чисел Хлєбніков, математик за освітою:
І корінь взявши із себе.
Побачив пильно в ньому русалку.

Універсальність математичної мови, її здатність до самостійного буття не могли не принести своєї нагороди. Коли з’явилися теорія відносності і квантова механіка, то виявилося, що математичний апарат для них вже заготовлений. Математики не перестають нагадувати про це фізикам, і тут дійсно є чим похвалитися. Але тут нам вже пора повернутися до початої розмови про прірву.

Зміна місць доданків

XX століття змінило, як фізику, так і математику. Фізика проникла в глибинні шари структури матерії, де відмовляє «здоровий глузд». Там фізика зіткнулася з поняттями, які не мають наочної інтерпретації і є незрозумілими ні на якій мові, крім математичної. В цих умовах математична мова не могла не перетворитися з допоміжного в головне знаряддя пізнання природи. Теорія стала все частіше випереджати досвід, вже не пояснюючи, а пророкуючи явища. Виникла нова масова професія — фізик-теоретик.

Математика теж пережила на стику століть свою кризу, хоч і не таку гучну, як «криза фізики» початку XX століття. Парадокси теорії множин змусили математиків особливо пильно подивитися на заснування своєї мови. Були залишені всякі спроби покластися на «інтуїтивно» сприймані образи. Різко підскочив угору стандарт строгості математичного доказу (він поступово підвищувався вже протягом XIX століття). Математики все ясніше усвідомлювали лінгвістичний характер своєї науки, її незалежність від фізики.

Фізики ж, навпаки, все сильніше відчували нерозривний зв’язок між явищами реального світу і відображаючою їх математичною мовою. Знаменитий піфагорійський принцип «числа правлять світом» відродився. Поштовх до цього дали ті самі «відкриття на кінчику пера», вершини «математичної поезії», про які вже йшла мова вище. Але піфагорійський принцип зворотній. Якщо він вірний, то настільки ж вірно і те, що природа править числами. У фізичній теорії підказка природи «мови» і підказка природної мови досвіду безперервно взаємодіють.

Володіти математичною мовою стало неодмінною умовою успішної роботи фізика. Варто згадати, що ще століття тому фізики знали математику приблизно так само погано, як нинішні хіміки (а тепер і хіміки беруться за математику все серйозніше). Коли Шредінгер вперше сформулював своє знамените рівняння — основне рівняння квантової механіки, він не міг сам його вирішити і звернувся за допомогою до математика Вейля. У ті ж часи двадцятирічний Гейзенберг, формулюючи закони квантової механіки іншим способом, по шляху «винайшов» матричне числення. Це було б повторенням подвигу Ньютона, який створив диференціальне числення, якби тільки матричне числення не було давно відомо. У наш час таких чарівних казусів вже не буває. Середній фізик-теоретик, яких тисячі й тисячі, оснащений тепер математичним апаратом до зубів, що, зрозуміло, не означає, що він є таким же досконалим «рецептором» таємниць природи, як юні творці квантової механіки.

Але, як не хороші були заготовлені математиками мовні засоби, нової фізики їх вистачило ненадовго. Нові, все більш складні завдання вимагали і нових методів рішення. Між тим надії на допомогу з боку математиків поступово танули. Фізики були поставлені перед необхідністю самим розробляти нові засоби вираження. І вони сміливо кинулися вперед, бентежачи математиків своїми «неподобствами».

Фізикам, безперечно, легше, ніж математикам: за їх спиною стоїть вища інстанція —досвід, який, страхуючи теоретика, завжди може запобігти сумним наслідкам необережних математичних курбетів. Ця страховка дає фізикам більшу свободу дій, ніж математикам, скутим жорстким стандартом строгості доказів. В цьому сенсі позиція фізиків-теоретиків близька до позиції математиків минулого, які теж явно або неявно покладалися на чуттєво сприймані образи. (Але, між іншим, стандарт строгості поступово підвищується і в теоретичній фізиці, як він підвищувався в математиці XIX століття.)

Фізики «бешкетують»

Візьміть прямокутник і стискайте його основу, одночасно витягаючи його у висоту так, щоб площа прямокутника залишалася незмінною. У межах, коли підстава стиснеться в точку, ви отримаєте графік дельта-функція Дірака. Ця функція дорівнює нулю всюди, крім однієї-єдиної точки, в цій же точці дорівнює нескінченності. З точки зору класичного математичного аналізу дельта-функція — просто безглуздий виродок, що не підкоряється ні одній з теорем. Дірак користувався послугами цього «виродка», не чекаючи появи теорії узагальнених функцій.

Самі запаморочливі трюки почалися з легкої руки Фейнмана. (Широкій публіці відомі «Фейнманівські лекції з фізики», прикрашені портретом автора, який грає на барабані, а також злі жарти, які він робив над правоохоронцями секретності під час роботи над створенням атомної бомби.) Математика здавна розкладала функції в ряди. Але що ви скажете про такий ряд, всі члени якого нескінченні (одні позитивні, а інші негативні), сума ж — кінцева величина? Саме з такими рядами наважилися працювати фізики. І як працювати: з нескінченного числа нескінченостей вони повинні вибрати «головну» частину (що нерідко теж містить нескінченне число членів) і підсумувати її, щоб отримати шуканий наближений розв’язок (зауважимо, що в по-справжньому важкій фізичній задачі відповідь завжди наближена). Чи це не акробатика?

Додамо ще, що члени ряду зазвичай зображуються не формулами (це було б занадто громіздко), а картинками — фейнманівськими діаграмами. І такі методи поширилися з рідкісною швидкістю у всі галузі фізики. Чому вони застосовуються? Та тому, що вони плідні. І тут вже неважливо, як вони виглядають з точки зору пуристів.

Математики справедливо називають подібні побудови фізиків «хиткими містками». Але для фізиків «хисткі містки» — альтернатива не залізобетонній конструкції, а відсутності всякого мосту. І щось «хисткі містки» не поспішають обвалюватися. Можна подумати, що «незрима рука» підтримує їх в очікуванні, коли під них підведуть, нарешті, міцний фундамент. До речі, варто згадати, що і диференціальне числення було позбавлено такого фундаменту мало не два століття.

Різницю в психології фізиків і математиків ілюструє наступний життєвий анекдот. До фізика після зробленої їм доповіді (пов’язаної саме з тим діаграмним методом, про який йшла мова вище) підійшов математик. «А ви знаєте. — сказав він. — ця задача вже вирішена». «Як вирішена?» — злякався фізик: немає нічого гіршого, ніж виявити, що ти працював даремно, чогось недогледів у величезному потоці літератури, — і такі випадки стають тим частіше, чим ширше розливається цей потік. «Доведено існування рішення». «Милий, — зітхнув фізик з полегшенням, — та якби ми не вірили в те, що рішення існує, хіба стали б ми з усім цим возитися?»

А що ж математики?

Вони прекрасно розуміють, що така велика мова, як математика, заслуговує того, щоб її закони вивчалися заради них самих, а не заради якоїсь «сторонньої» цілі – навіть настільки величезної, як пізнання природи.

Математика — не служниця фізики, так само, як фізика — не служниця техніки. У кожній з цих областей є своя вища мета («надзавдання»), і було б нерозумно сперечатися, яка з цих трьох наук важливіше. Ми називаємо математику «природною мовою». Але математика потенційно багатше природи, як можливість багатша дійсності.

Ніхто не може сказати наперед, що ховається серед холодних вершин, куди забралися нинішні математики. Чи не там лежить шлях прориву через неприступні хребти, що перегородили шлях сучасній науці? Відомо, як обмежені, незважаючи на всі хитрощі фізиків, можливості існуючої математичної мови. Кожен крок у вирішенні складних фізичних задач дається дедалі більшою працею. Використання комп’ютерів не вирішує всіх проблем. Потрібно щось істотно нове, переворот настільки ж глибокий, яким було колись створення диференціального числення. Фактично потрібна нова мова. Але ніхто не уявляє собі, чи можлива «природна мова», в корені відмінна від сучасної, і, якщо можлива, то які можуть бути його принципи та на яких шляхах має сенс ці принципи розшукувати.

Праця математиків дуже важка. На відміну від реального світу, де все має свою міру і межу, світ чистих образів позбавлений об’єктивних заходів; зокрема, він не знає міри і у вимогах до самого себе. Адже математик — це звичайна людина із звичайними людськими легенями, не пристосованими до життя в безповітряному просторі. Маститі математики постійно нагадують, як корисно людям, працюючим у цих майже космічних умовах, особливо незміцнілій молоді, час від часу підживлювати свої сили киснем прикладних задач. Інакше знесилені скелелази можуть піддатися спокусі створити собі штучну атмосферу, пішовши в коло цікавлячих тільки їх самих проблем.

На жаль, чим більш зухвала поставлена мета, тим важче людині утримуватися на гідній цій меті висоті. Мабуть, середнього математику надається менше шансів зробити відчутний внесок у науку, ніж середньому фізику.

На жаль, часом доводиться спостерігати, як шкідливо позначаються на математиці, занятій прикладним завданням, деякі укорінені у неї звички. Буває, що математик (досить середній, зрозуміло), звернувши свій погляд до якоїсь модної теми (зазвичай з області біології або соціології, бо у фізиці чи хімії занадто велика конкуренція «тубільців»), намагається чогось досягти з допомогою визначень і бездоганних логічних висновків там, де насправді можуть допомогти лише наближені методи, засновані на виділенні головних рис досліджуваного явища і відкидання другорядних. Результатом такої вилазки може бути лише словесний потік, що перекочує, як страхітливі камені, різні невимовні терміни, в основному кібернетичні.

Звички, виховані в середнього фізика-теоретика, служать йому під час вилазок в сусідні області науки куди краще. Втім, справедливості заради треба зауважити, що шлях з однієї природної науки в іншу (адже біологія — це частина фізики в широкому, аристотелівскьому сенсі слова) куди коротше, ніж шлях математика з його вершин.

Що далі?

Видатний фізико-хімік Інгольд у передмові до своєї фундаментальної монографії дякує своїм близьким, які переконали його в тому, що недосконала, але існуюча книга краще досконалої, але неіснуючої. Це серйозна дилема. Високий математичний авторитет, «генерал» Бурбакі, пише, що греки (особливо Архімед) дуже близько підійшли до створення диференціального обчислення, але вирішальний крок, можливо, не був зроблений тому, що греки були не в змозі обґрунтувати обчислення нескінченно малих згідно з тодішнім стандартом математичної краси і суворості. Таким чином, це велике діло було відкладено майже на два тисячоліття. Може бути, затримка була б ще більшою, не опустися до XVII століття стандарт строгості обґрунтувань. Чи не дорога ця ціна?

Вершини математики прекрасні, і доводиться тільки шкодувати, як мало людей може ними милуватися. Той, хто здатний відчути цю красу, може сказати, що ніяка ціна за неї не була б надмірною. Але сучасна математика, напевно, взагалі б не народилася на світ, якщо б вона не була природною мовою, які перебувають у нерозривному зв’язку зі структурою реального світу. В наші дні математики і фізики-теоретики говорять на різних мовах або, у всякому разі, на різних діалектах, часом не розуміючи один одного. Між цими діалектами йде певна конкуренція. Чи не дають математики занадто велику фору фізикам, сковуючи свої дії жорстким стандартом строгості? Або, навпаки, тільки такий образ дій виправдовує себе на глибинах пізнання? Яким судилося бути природній мові майбутнього? Ставки дуже високі. Мова, позбавлена зв’язку з реальністю, мова, покинута поетами, приречена на смерть. Так померла звучна і ємна латинь. З цією небезпекою неможливо не рахуватися.

Автор: Л. Письмен.