Блискуча непопулярність математики

На словах математику визнають царицею наук, їх спільною мовою, основою всього науково-технічного розвитку, а на ділі воліють розповідати про використання математичних методів, а не про їх власну природу. У чому ж причина цього явища, яке Бертран Рассел назвав «блискучою непопулярністю математики»?

Звичайно, перше, що спадає на думку, — абстрактний характер математики. Але це дивлячись що з чим порівнювати. Адже сучасні фізичні теорії теж дуже далекі від наочності, а все-таки авантюри фізичної думки привертають читача куди сильніше, ніж якась цілком конкретна прикладна дисципліна. Мабуть, справа не в абстрактності науки як такої. У всякому разі, не тільки в ній.

Справа в тому, що основні фізичні категорії — тіло, швидкість, сила, час, довжина та інші — належать до тих, якими на інтуїтивному, практичному рівні володіють буквально всі люди, незалежно від їх освіти або віку. Винятком є, мабуть, тільки новонароджені. Досить сказати, що згідно теорії відносності рухоме тіло збільшується в довжині за напрямом руху — і інтерес читача забезпечений. Він не кине читання до тих пір, поки не побачить, як автор “викрутиться” зі свого становища, як буде доведено настільки неймовірне з інтуїтивними уявленнями положення.

Треба сказати, що до середини XIX століття і математика перебувала майже в такому ж положенні, як фізика. Ситуація стала іншою тому, що докорінно змінився характер самої математики. Коли Лобачевський опублікував свої дослідження з неевклідової геометрії, його відкриття порушило суспільний резонанс, порівнянний, мабуть, з реакцією на теорію відносності. Як, паралельні лінії перетинаються?! О, з цього питання міг висловитися кожен.

Реакція шановної публіки була в основному негативною. Вельмишановна публіка вважала, що пан Лобачевського просто-напросто її дурить. Але нам цікаво в даному випадку не це (Ейнштейну теж на перших порах діставалося від розвінчувачів). Важливий сам факт підвищеної суспільної уваги до наукового відкриття – факт, що грунтується на загальній зрозумілості і доступності самих об’єктів, про які йде мова.

Люди тому були так розбурхані відкриттям Лобачевского, що кожен вважав себе вправі вказати на його безглуздість або, принаймні, з значною міною поміркувати про нього. Не розуміючи цього предмета наукових досліджень, не володіючи поняттям аксіоматичної системи, кожен все ж інтуїтивно розумів парадоксальність і значимість наукового факту.

Якщо ж відкриттю Лобачевського надати одягу сучасних математичних термінів, то переважній частині суспільства його геометрія (так само, втім, як і геометрія Евкліда) здасться абракадаброю. Там не буде ні пересічних паралельних, ні трикутників, сума кутів яких більше 180 градусів, ні інших захоплюючих речей. Буде лише ряд абстрактних просторів, визначених аксіомами незрозумілого змісту, багато логічної символіки і мало слів зрозумілою мовою.

Звичайно, розуміючи, що це спеціальне наукове дослідження, ніхто не буде малювати на вченого шаржі або писати гуморески, але ніхто і не відчує, що він, особисто він, якось зачеплений цим дослідженням.

Сучасна математика вивчає не трапеції і піраміди, не синуси і квадратні рівняння, а структури відносин між елементами не уточненої природи. Ось так! Не уточненої!

На яку інтуїцію читача можна розраховувати, якщо мова йде про об’єкт, який… який може виявитися чим або ким завгодно. А самого математика і не цікавить, «що це за об’єкт». Не цікавить принципово. Важливі тільки відносини, в які цей об’єкт вступає або може вступати з іншими об’єктами. Відносини, які задаються аксіомами даної теорії.

Така універсальність завжди вважалася сильною стороною математики. І це насправді так. Адже саме тому, одне і те ж рівняння може описувати і коливання гітарної струни, і вібрацію залізобетонного моста, і біг морської хвилі. Як же можна скаржитися на особливості математики та її мови, які лежать в самій природі цієї науки і зумовлюють її сильні сторони? До останнього часу і не скаржилися. Мало того, співали хвалу все більшій формалізації математики. Із захопленням зустрічалися і спроби – все більш численні – перекладу на формально-логічну мову природничо-наукових теорій. Математизація знань! Математичні методи в біології, в соціології, в управлінні, в…

Але ось захопленість явно починає спадати. Більш того, її змінює не просто здивування, а різкі, критикуючі голоси. І що найдивніше, застрільниками серед критиків виступають… самі математики. Тут вже ніяк не відбудешся згадкою про крики профанів. Не біологи або фахівці з проблем управління, або якісь там гуманітарії, а самі математики все частіше і наполегливіше критикують тенденцію розвитку математичної мови. Не через труднощі популяризації і навіть не через труднощі математизації інших наук, а вже через саму математику. Заради її благополуччя.

Що ж це за тенденція? Та все та ж: прогресуюча формалізація і аксіоматизація і стилю викладу, і стилю мислення математиків.

Але ж ця тенденція прогресивна. Більш того, вона визначає собою саме істоту, саму душу математики. Чому ж вона викликає тривогу?

Проблема знаходиться десь посередині між приказками: «палиця о два кінця» і «все добре в міру».

Математики, що сформувалися за останні десятиліття, змалку перейнялися почуттям посвячених, подібно вузькому колу обраних в ордені піфагорійців. Це почуття дає їм знання сучасного математичного жаргону, вміння перевести будь-яку простеньку конкретну задачу на мову потужних універсальних теорій, таких, як теорія множин, абстрактна алгебра та інші.

Свого часу ці теорії створювалися для вираження дійсно грандіозних по глибині і охопленню ідей. Але якщо мова вже створена, вона починає сприйматися як самоціль, як явище естетичне, значуще саме по собі.

Найбільше страждають від цього, звичайно, представники інших наук. Той же біолог або фізіолог, які просто рвуться в математичну вежу зі слонової кістки. Математичний апарат їм необхідний як повітря. Але для цього потрібно, щоб ворота вежі відкрилися і переговори відбулися на нейтральному полі. Горезвісна «боязнь чужого поля» існує не тільки у футболі.

І це зрозуміло. Якщо ви не знаєте мови співрозмовника, то і не відрізните справи від дрібниці в його промовах. Справа ще й в тому, що найзагальніші математичні структури – це настільки широкі плаття, що вони з легкістю можуть бути надіті чи не на будь-яку приватну задачу. Не так вже й складно, наприклад, описати інформаційний пошук в термінах теорії множин. Масив документів — одна безліч. Запити – інша безліч. Словник ключових слів — третє. Критерій відповідності документа запитам – деяке відображення. Після такого перейменування можна списати не один десяток сторінок красивими формулами, що з’єднують ці множини елементарними операціями об’єднання, перетину або включення.

Може здатися, що в такому вбранні завдання інформаційного пошуку стало коректніше і точніше «науковіше», чи що. Насправді ж відбулося просте переодягання проблеми. Нові блискучі одежі ніяк не вплинули на її сутність, не зменшили труднощів її вирішення.

Можна, звичайно, описати інформаційний пошук в термінах теорії множин або будь-якої іншої загальної математичної теорії. Але це принесе реальну користь тільки в одному випадку, якщо вчений глибоко проник в суть даної задачі — в проблему формального виразу змісту документа і запиту. Тільки в цьому випадку він зуміє вдало застосувати математичні поняття, які реально допоможуть у вирішенні цієї складної проблеми або, принаймні, її частини.

Але поряд з таким творчим, активним шляхом завжди існував і поспішний, що імітує науковість, а по суті, пасивний і безплідний образ дії. І останнім часом, завдяки майже необмеженій довірі до деяких досягнень кібернетики та дедуктивних наук, цей образ дії привів мало не до інфляції деякого фрагмента математичної термінології.

Те, що в нашому прикладі фарби аж ніяк не згущені, визнають знову-таки самі математики. Ось що пише відомий американський вчений Л. Доуэл про події в області інформаційно-пошукових систем: «Пошук інформації — це першокласний приклад того, як перенасичення математикою може довести науку до окостеніння… Однак мертва хватка математики не слабшала до 1960 року, коли логік Бар-Хіллел написав чорним по білому, що жодна математична робота щодо пошуку інформації в основному нічого собою не являє. Потік математичних трактатів з тих пір аж ніяк не ослаб, але після того, як Бар-Хіллел відкрито висловив те, що багато хто підозрював, люди, травмовані свідомістю нестачі математичних знань, вийшли з укриття, і пошук інформації розцвів новими ідеями і концепціями…» (привівши врешті до створення сучасних пошукових систем, таких як Гугл, Бінг та Яндекс).

Але, може бути, від гри самовитим математичним словом страждають тільки непосвячені? У тому-то й справа, що ні. Надмірне захоплення формальною витонченістю, гра в логічну архістрогість – все це веде від вирішення дійсно глибоких і чисто математичних проблем.

Коли один середньовічний придворний поет закохався, він з жахом раптом виявив, що не може порозумітися зі своєю коханою. Як тільки він починав з нею говорити, навіть в самій інтимній обстановці, його натренована мова сама собою зісковзувала на завчені банальні пишноти, на кшталт: «О, ти, що…» і т. д. Природно, що кохана не могла повірити в щирість такого пояснення.

Подібний “професіоналізм” загрожує не тільки придворним поетам. А для підданих цариці наук деяка недорікуватість це навіть непогано. “Репутація математика грунтується на числі поганих доказів, які він придумав”, – сказав один з них.

Поганий доказ – це не неправильний, а погано викладений, довгий, заплутаний доказ. Чому ж репутація математика тримається на настільки дивній підставі? Та тому, що всякий глибокий, несподіваний результат, як правило, важко викласти на вже відомій мові. Такий результат як би зламує мовний каркас і показує його недостатність.

Коли французький математик Жордан вперше опублікував знамениту «теорема Жордана» (про те, що окружність розбиває площину на дві непересічні частини), доказ займав десятки сторінок, на яких тягнулася найтонша і помітна нитка логічних умовиводів.

Тепер ми володіємо не одним, а кількома «хорошими», тобто компактними, легко осяжними доказами. Раз піднявшись на вершину, неважко виявити, що обраний маршрут не самий прямий і короткий. Раз знайшовши доказ, можна потім не один раз покращувати, «вилизувати» його. Але щоб шлях першопрохідця був прямим і гладким – таке майже виключено. І не в тому тільки справа, що вгадування прямого шляху занадто вже малоймовірно. Зручного маршруту часто просто-напросто і не існує. Краса глибокої теореми подібна зачарованій квітці. Вона цвіте на чималій відстані від доглянутих і ретельно спланованих широких просік наукових теорій. А шлях через хащі по лінійці не прокладеш.

Перший доказ теореми Жордана — це якраз шлях через хащі. Щоб дістатися до основного результату, математик змушений був «по ходу справи» доводити безліч побічних лем. Деякі з них мали, звичайно, і самостійний інтерес, але в даному випадку були тільки перевалами на шляху до основного піку. І тільки коли “груба робота” була виконана, вступили в силу міркування зручності і стрункості викладу. Іншими словами: канатна дорога як засіб пересування вельми зручна, але щоб її натягнути, хтось вже повинен знаходитися на верхньому пункті. І цей хтось повинен піднятися нагору, не вдаючись до допомоги канатної дороги. Адже її ще просто не існує.

Вдале креслення, геометрична інтуїція, звичайно, не можуть бути засобом доказу в сучасній математиці. Але вони були і залишаються одним з основних прийомів математичного мислення. І той, хто насильно відучує себе від цих прийомів, хто з самого початку представляє будь-яку задачу в термінах потужних аксіоматичних теорій, чи не огрубляє він свій інтелект? Адже втрата здатності розрізняти найтонші нюанси можлива не тільки в області почуттів.

Людський інтелект — це найтонший інструмент, дарований нам природою і соціальним розвитком людства, — так само, як і почуття, безмежно різноманітний і так само, як і почуття, здатний до вдосконалення або деградації. В сутінках, як відомо, всі кішки сірі. Але, якщо абсолютно вигнати тінь, то кішки взагалі не будуть видні. Так само, втім, як і все інше. Щоб бачити річ, потрібні і світло і тінь. Щоб глибоко проникнути в предмет дослідження, необхідно ясно бачити, в чому його індивідуальні відмінності від інших предметів. Потужні аксіоматичні теорії не дають такої можливості: вони подібні яскравим прожекторам, що б’є далеко вдалину, але приховує деталі.

Той, для кого натуральний ряд чисел — всього лише одна з моделей аксіоматичної системи Пеано, трохи дізнається про цей ряд. І навпаки, про одного з віртуозів теорії чисел, індійського математики Раманужані, його колеги говорили «що кожне позитивне ціле число було одним з його особистих друзів».

Білка, судорожно перебираючи лапками, розкручує колесо так, що вже не видно і перекладин, за якими вона стрибає. Білці здається, що вона і сама мчить вперед з шаленою швидкістю. І дійсно, адже мчить вона… всередині колеса. З досвіду життя в лісі білка запам’ятала, що єдина і достатня запорука швидкого руху (вперед!) — швидко перебирати лапками. Вона не помічає, що зовнішні умови змінилися, що під нею не твердий грунт, а колесо, що обертається на місці. Сенс цієї притчі досить прозорий: звичайно, треба рухатися вперед, але, щоб просування було реальним, а не словесним. не зле б спочатку перевірити, чи твердий під ногами грунт.

Таким твердим ґрунтом в усі епохи розвитку науки, завжди і скрізь служило конкретно-проблемне мислення. Тільки глибоке, що вимагає залучення всіх інтелектуальних і, ширше, всіх духовних ресурсів особистості проникнення в конкретну проблему — тільки така важка, чесна розумова робота привела в подальшому до справді плідних узагальнень.

З чого розвинувся мало не на два тисячоліття передуючий інтегральному численню метод вичерпування Архімеда-Евдокса? З конкретних, «елементарних» завдань обчислення площ конуса і циліндра.

Що послужило в XVIII столітті поштовхом до вироблення одного з основних понять всієї математики, загального поняття функції? Дискусія Ейлера і Даламбера про струни, що коливаються.

А геніальні роботи Галуа і Абеля, що заклали основи теорії груп? Адже до їх створення привели безплідні спроби вирішити мало не “шкільне” завдання: знайти формулу вирішення рівняння п’ятого ступеня (на зразок всім відомої зі шкільного курсу алгебри формули квадратного рівняння).

І, нарешті, свята святих сучасної математики – теорія нескінченних множин. Теорія множин, на мову якої так поспішають переводити нині найпростіші і найскладніші, найзручніші і самі невідповідні для цього завдання. Всі пам’ятають і люблять повторювати слова Д. Гільберта: «Ніхто не може вигнати нас з раю, створеного для нас Кантором». Але часто забувають про інше, про те, що сам творець раю, Георг Кантор, прийшов до думки про його створення, вирішуючи конкретні математичні задачі.

Всі ці приклади говорять про одне і те ж: і в самій абстрактній з наук реальні просування вперед здійснює саме конкретне (зрозуміло, математично конкретне) мислення. Будь-які, що виросли з приватних завдань грандіозні узагальнюючі теорії історично обмежені.

І навіть такі загальні концепції, як «аксіоматична система» та «формально-логічна строгість», — не більше, ніж історично минущі періоди в розвитку математики. Щоб побачити їх межі, треба просто вибрати досить високий пункт огляду. І так само, як фізикам XIX століття, вихованим в ньютоніанстві, важко було вгадати прихід Ейнштейна, як сучасним теоретикам «у квантовій механіці» неможливо уявити, хто ж буде той наступний, з «досить божевільною» ідеєю, так само і нам, сучасникам формалізації в математиці, неможливо передбачити, що прийде їй на зміну.

Але історія науки — це не тільки зміна неповторних ідей. Це ще й закономірність, якій підпорядковується сама ця зміна. В історії математики така закономірність — поглиблена робота над конкретними, часто навіть і прикладними завданнями. Треба тільки не поспішати так видозмінювати завдання, щоб зробити його доступним вже потурбованій математичній мові. Адже при такій видозміні нерідко втрачається специфічність, саме ядро проблеми. Вирішити приватну, конкретну задачу, не змінюючи і не полегшуючи її, тільки це і може привести до реального просування вперед, до виникнення нових плідних узагальнень.

Слідом за монтажниками і мулярами новий поверх потрапляє до будівельників. Настилаються паркети, навішуються віконні рами і двері, стіни покриваються шпалерами. Не будемо протиставляти будівельників цих двох категорій: і ті, і ті роблять необхідну і важливу справу. Але не будемо і забувати, що після того, як оздоблювальні роботи закінчені, будівельникам на поверсі робити нічого. Його квартири обживають мешканці для мирного і спокійного життя.

Тим же, хто хоче зводити нові поверхи і першими бачити нові горизонти, залишається освоювати професію монтажника-висотника. Нових, нестандартних ідей і методів очікують від математиків біологи, медики, соціологи, лінгвісти…

Одна з основних якісних відмінностей сучасної науки — її зросла самосвідомість. Науковому аналізу піддається сама наука, труднощі і закономірності її розвитку. Посилюється взаємопроникнення і взаємозалежність різних областей точного знання. І тим більше це відноситься до математики, яка, за загальним визнанням, є не тільки окремою наукою, але й спільною мовою всіх наук. Тому і революційні зміни в сучасній математиці повинні прискорюватися і стимулюватися всією сукупністю проблем сучасної науково-технічної революції.

Така стимуляція вже відбувається. Відзначимо тільки деякі з її моментів: діалектика понять “частина” і “ціле” в біології, релятивізація поняття «складається з…» в теорії елементарних частинок (елементарна частинка А «складається з» частинок В і С, а в той же час частка В «розпадається на», тобто теж «складається з» А і С), нарешті, структури, які вивчаються в теорії алгоритмічних мов, у яких «зміст» фіксованого терміна змінюється в часі.

Всі ці релятивістські, діалектично мінливі об’єкти вимагають для їх математичного «осмислення» нових, нетрадиційних методів.

А “драма ідей”, яку можуть привести за собою ці методи, в науці, як відомо, має завжди щасливий кінець: набуття нового знання. Рухаючись по широкій магістралі, не слід нехтувати і розвідкою нових трас. В математиці таке нехтування призвело б до того, що забуксувала б реальна математизація будівлі і довелося б вже говорити «про дві культури» в самій математиці.

Автор: О. Морозов.