Математика сучасного знання

Навряд чи хтось стане особливо сперечатися, що в останні роки такі науки, як, наприклад, фізика елементарних частинок, розвиваються не так вже й стрімко. У чому причини? Або хоча б одна з причин? Одна з них у наявності: це уповільнення пов’язане з тим, що система середньої і особливо вищої освіти зовсім не вчить молодих дослідників природи тієї математики, яка їм зараз вкрай необхідна. Діючі програми складені так, що молоді «подаючі надії» просто не знають тієї математики, за допомогою якої тільки і можна сподіватися вирішити найбільш важкі проблеми сучасної науки.

Згадайте, що для формулювання будь-якої математичної теорії у фізиці кожен раз потрібна була своя, особлива математика, причому розвинена зовсім незадовго до створення цієї фізичної теорії. Ньютону, щоб побудувати будинок класичної механіки, довелося створювати диференціальне та інтегральне числення. Повна система рівнянь, що описують поведінку електромагнітного поля, була написана Максвеллом тільки кілька десятиліть після того, як з’явилася більш-менш задовільна теорія рівнянь в приватних похідних і векторний аналіз. Не більше двох десятиліть відокремлює створення тензорного обчислення від формулювання з його допомогою спеціальної та загальної теорії відносності.

І тут справа не в чийсь злій волі, намірі чи недбальстві. Перед нами – абсолютно реальне, найгостріше протиріччя в розвитку сучасної науки. І той, хто вирішить його більш-менш задовільним чином, має найбільші шанси побудувати загальну теорію елементарних частинок. Я ризикую навіть висловити якусь тезу про ту математику, за допомогою якої можна побудувати будь-яку фундаментальну теорію у фізичній науці. А саме: це завжди така математика, яку творці фундаментальних фізичних теорій майже не знають. А за допомогою тієї математики, яку вчать в школах і університетах, можна вирішувати в науці тільки більш прості завдання, пов’язані із застосуванням вже створеної фундаментальної теорії. Звичайно, це твердження не може бути строго обгрунтовано, тому що воно не виводиться ні з якої системи аксіом. Воно отримано в результаті простих роздумів про життя, подібно відомим законам Паркінсона або правилам життя незабутнього героя «Золотого теляти».

Які вони, типові об’єкти сучасної науки

Давайте дуже поверхнево, дуже неглибоко, одним оком глянемо на ті об’єкти сучасної науки, для пізнання яких абсолютно необхідна сучасна математика. Які вони? У чому їх сучасність? Чим відрізняються вони від звичайних столів, каменів, електронів, протонів, ігуанодонів і навіть квартету Бітлс? Дуже хороший приклад того, якого роду об’єкти знаходяться в центрі уваги сучасного природознавства, і математики, дає так званий «континуум Вада». Він дуже красивий, цей континуум, звичайно, по-своєму, в сучасному розумінні цього слова. Отже, нехай на острові в океані сірої води є два джерела – блакитної та зеленої води.

Оголошуємо наступну програму робіт: в перший день спочатку прориваємо з океану і з кожного джерела таку систему каналів, щоб кожна точка земної «тверді» на острові відстояла не більше ніж на кілометр від блакитної, зеленої та сірої – океанської – води. У наступні півдня система каналів ускладнюється так, щоб ці відстані скоротилися до півкілометра – і так далі.

Який чудовий об’єкт отримали ми при переході до межі в кінці другого дня робіт! Як завгодно мала околиця будь-якої точки нашого острова завжди містить і чорну «твердь» земну і блакитну, і зелену і сіру воду одночасно. Наші художники поки що здатні намалювати наш острів тільки «за станом на вечір другого дня робіт». Як зобразити острів за п’ять хвилин до дванадцятої і особливо за п’ять мікросекунд до закінчення робіт, вони поки що ще не вирішили – через відсутність технології забарвлення елементарних частинок.

Але не думайте, що подібні патологічно влаштовані об’єкти можуть цікавити тільки «чистих» математиків. На жаль, на жаль, – в центрі уваги сучасної фізичної
науки лежить, так би мовити, «старший брат» нашого континууму Вада – фізичний вакуум сильних, слабких і електромагнітних взаємодій. Він «влаштований» ще більш хитро: якщо ми будемо брати його все більш і більш дедалі менші обсяги, то десь після проходження кордону – кубика з довжиною граней в 1 фермі (10-13 см), ми з жахом виявимо, що то, що здавалося нам абсолютною порожнечею, чистою протяжністю – без найменших слідів будь-якого буття, виявляється, веде себе як справжній океан розбурханих стихій.

Без серйозної математики тільки музика здатна, ймовірно, передати відчуття вченого, коли він починає вивчати фізичний вакуум сучасної теорії елементарних частинок. Згадайте «Пікову даму», коли до Германа приходить привид графині. По незвичайним, трепетним, настороженим звучанням ви відчуваєте присутність чогось абсолютно нового, невідомого досі. Це подібно привидам, подібно міражам з’являються пари віртуальних частинок. Спочатку – найлегших електронів і позитронів. У повному вакуумі, в абсолютній порожнечі вони виникають буквально з «нічого» – як докір совісті, як нагадування про те, як багато таємниць нам належить ще випитати у природи…

Неметрична математика

Поставимо дуже просте питання щодо нашого континууму Вада: яку частину острова займає, скажімо, блакитна вода? Або зелена? Або сіра? Або «чорна» твердь, нарешті! Абсолютно ясно, що всі класичні способи кількісної математики – всі її, що століттями розроблялися методи вимірювання площ – в даному випадку абсолютно неприйнятні. Вони відмовляють – перед нами суттєво «некількісний» об’єкт. Як же бути? Що робити?

Ідею підказує теорема, висловлена спочатку у вигляді гіпотези І. М. Гельфандом і доведена згодом відразу декількома його учнями. Вона стверджує, що ввести міру в деяких екстравагантних математичних просторах можна тільки використовуючи випадковий процес. Отже, рішення готове: зав’яжемо собі очі і кинемо абсолютно випадково 100 голок в наш континуум.

Чи не правда, дуже чудово: щоб пізнати якісь абсолютно нові і незвичайні об’єкти, треба задати абсолютно випадковий процес. Боронь вас Боже кидати голки по якійсь системі – ось тоді вийде абсолютна нісенітниця. Тільки якщо голки будуть падати абсолютно випадково, і з 100, скажімо, 30 встромляться в «точки» блакитної води, ми зможемо сказати, що з певним ступенем ймовірності (яка залежить від загального числа голок) блакитна вода займає 30% площі, на яку падали голки.

Теорема Гельфанда – Сазонова – Мінлос – Митягина показує, чому в будь-якій теорії мікроявищ обов’язково входить ймовірність: ми стикаємося там з істотно «некількісними» об’єктами. А тут кількісний підхід часом безсилий. Виміряйте за будь-яким ступенем точності будь-які кількісні характеристики живої істоти: її довжину, температуру, біоелектричні потенціали, хімічний склад тканин і т. д. і все одно майже нічого не отримаєте для пояснення властивостей живого.

Вам доведеться провести багато різних вимірів самих різних характеристик живого об’єкта і шукати взаємозв’язок між ними – за допомогою теорії ймовірностей. А це – один з найважливіших розділів математики неметричних, некількісних об’єктів. У сучасній математиці активно розвиваються й інші методи дослідження цих досить дивних і незвичайних структур: теорія алгоритмів, теорія автоматів, теорія ігор, теорія графів і т. д.

Все це підтверджує справедливість слів найбільшого математика сучасності Курта Геделя. Сенс їх зводиться до того, що якщо до сих пір в основному розвивалася кількісна математика, то це до певної міри випадково і пояснюється лише тим, що донині основні імпульси розвитку «цариці наук» давали такі «кількісні» науки, як механіка, електродинаміка і т . д. Тепер же положення істотно змінюється, тому що математика значно розширила фронт свого проникнення в інші науки. Наприклад, в біологію.

Тільки не лякайтеся, будь ласка, і не думайте, що неметрична математика – це щось зовсім вже складне, незрозуміле і, у всякому разі, недоступне для розуміння простих смертних, які не знають вищої математики. Навпаки, неметричні глави математики цілком доступні для вивчення вже в середній школі. Деякі з них значно простіше, наприклад, звичайної прямолінійною тригонометрії.

Що ж стосується таких серйозних «некількісних» наук, як топологія або теорія груп, то в принципі для їх вивчення не потрібно знати навіть таблиці множення. Прямо беріть будь-яку з книг трактату Н. Бурбак «Елементи математики» і починайте вивчати. Але це, звичайно, нічого доброго не дасть: вони вимагають наявності такої високої культури математичного мислення, яка є не в будь-якого математика, навіть закінчивши мехмат університету. Які шляхи подолання цих труднощів – про це я спробую сказати в іншій статті.

Автор: І. Ачкурін, кандидат філософських наук.