Математика в музиці

“Математика є наукою, яка розглядає абстрактну кількість… Вона поділяється на наступні частини: арифметика, музика, геометрія і астрономія. Арифметика – вчення про кількість, що виражається числом. Музика ж — вчення, яке розглядає числа по відношенню до тих явищ, які спостерігаються у звуці…” Так писав римський вчений Кассіодор. Справа була в шостому столітті, в добрий старий час, коли біологія ще не відокремилася від фізики, а хімії не існувало зовсім. Сьогодні мало кому прийде в голову оголосити музику складовою частиною математики. Протягом століть виникло класичне протиставлення науки і мистецтва. Але наша епоха, яка, окрім багатьох інших епітетів, з підставою може називатися віком синтезу різних наук, на думку автора, стає також віком синтезу науки і мистецтва. В даний час прикладом подібних тенденцій є, мабуть, математика і музика.

Математичний синтез і математичний аналіз музики

Цей контакт проявляється при постановці і вирішенні двох основних проблем: математичного аналізу і математичного синтезу музики. У чому полягають ці проблеми? Яке їхнє ставлення до традиційного, нематематичного музикознавства?

Музикознавство завжди бачило одне зі своїх основних завдань в дослідженні, в аналізі музики – з точки зору мелодики, гармонії, ритміки, форми, інструментування. Наша перша проблема полягає у використанні для цієї мети різних математичних дисциплін — статистики, теорії інформації, теорії груп. Обмовимося відразу ж: математичний аналіз музики і традиційний аналіз музичних творів не виключають один одного. Навпаки, для математичного аналізу музики завжди в якомусь обсязі необхідний попередній “нематематичний” аналіз. Результати ж математичного аналізу не суперечать результатам традиційного аналізу, а уточнюють їх.

Інше основне завдання теорії музики з давніх пір полягає в її педагогічній функції. Майбутній композитор, який навчається теорії музики, починаючи з нотної грамоти, за якою слідує вчення про гармонію, про музичні форми і т д. Проблема математичного синтезу музики цілком аналогічна цій задачі, з тієї лише різницею, що навчати твору слід не людину, а машину. Як читач здогадується, слово «лише» в попередню фразу вставлено в іронічному сенсі. У тому-то й діло, що людина не машина (точніше, навпаки: сучасні машини не людина)!

Адже майбутній композитор – володар людської психіки, найскладнішого продукту матерії. Завдяки цьому різні поради і правила він схоплює «на льоту», навіть якщо вони сформульовані не зовсім точно. Користуючись своїм особистим смаком, учень може оцінити, чи добре чи погано звучить музика, незважаючи на те, що він, як правило, не в змозі пояснити, за якими ознаками або формальними критеріями він при цьому керувався. Нарешті, в його розпорядженні фантазія — невичерпне джерело нових музичних ідей. Воістину не дивно з такого чудового матеріалу зробити композитора! Але спробуйте зробити композитора з обчислювальної машини, яка, правда, всьому може навчитися, але сама не знає нічого.

Навіть найбільш елементарні речі машині потрібно повідомляти точно і докладно, нічого для неї не мається на увазі само собою. Ніякого смаку у неї немає, бо немає музичного досвіду. І вже абсолютно безнадійно виглядає справа з машинною фантазією. Звідки їй взятися?

Після всього сказаного у читача законно виникає питання: навіщо тоді взагалі намагатися за допомогою машин забирати хліб у композиторів-людей? Схоже, що справа ця неможлива, та, власне, і непотрібна. Відповімо з усією визначеністю: ніхто за допомогою «машинної музики» не збирається перетворити композиторів на безробітних. Мета серйозних експериментів по машинному твору полягає в іншому, і ця мета згаданими вище труднощами не знімається, а стає ще більш привабливою. До останнього твердження ми ще повернемося дещо пізніше. Тепер, не заглиблюючись в проблематику аналізу, розглянемо трохи більш докладно питання, пов’язані з математичним синтезом музики.

Але, перш за все, слід зазначити одну обставину, про яку неспеціалісти часто забувають. У нашій проблемі мова не йде про створення якоїсь нової машини невідомого досі типу, яка буде здатна до твору музики. Такі машини вже побудовані і існують у багатьох тисячах примірників. Бо для цієї мети придатна будь-яка універсальна електронна обчислювальна машина. Всі питання полягають в тому, як навчитися скласти таку послідовність інструкцій, таку програму, слідуючи якій машина складе музику. Отже, вираз «машина може» або «машина не вміє», по суті, слід читати «програма» або «програма не вміє». Але програму становить не машина, а людина, тому від неї, в кінцевому рахунку і залежить успіх або неуспіх машини. Однак читач ні в якому разі не повинен думати, що програміст заклав у машину різні мелодії і потім змусив машину ці ж мелодії «скласти». Насправді автор програми сам не знає, що складе машина. Як же в такому випадку відбувається процес синтезу? Як долаються згадані вище труднощі на цьому шляху?

Закони суворі і не суворі

Спочатку повернемося до питання про суворі, категоричні правила, які повинен дотримуватися кожен композитор. Повідомлення таких правил машині — справа клопітка і трудомістка, проте ніяких принципових труднощів тут немає. При перевірці виявляється, що таких правил в музиці набагато менше, ніж зазвичай прийнято думати. Тому включення цих правил в програму ще далеко не вирішує питання.

Відносним винятком в цьому сенсі є, мабуть, тільки вельми специфічні ситуації. В якості одного прикладу можна навести так званий “строгий стиль”, який характеризував багатоголосну (головним чином вокальну) музику в епоху Відродження. Це найстаріша музика, яка зрідка може бути почута в концертах. Інший приклад належить вже нашому часу – це додекафойна музика в своїй послідовній реалізації. У згаданих двох стилях звід строгих законів в порівняно великій мірі характеризує музику. Внаслідок цього процес твору легше піддається програмуванню. Саме тому, ймовірно, сюїта «Ілліак» для струнного квартету, складена обчислювальною машиною Іллінойського університету, починається в строгому стилі, а закінчується додекафонією.

Ніякої “середини” немає. Але у величезній своїй більшості та музика, яку ми чуємо в концертах, по радіо відноситься саме до цієї «середини», до так званої тональної музики. Тональну музику писали Бах, Гайдн, Моцарт, Бетховен, Шуберт, Глінка, Чайковський, Рахманінов, Скрябін, Прокоф’єв. Тональну музику пише більшість сучасних композиторів. Але твір тональної музики важче піддається програмуванню.

У чому полягає основна складність алгоритмізації твору тональної музики? Справа в тому, що закони тональної музики в своїй більшості не є категоричними наказами, а лише рекомендаціями. Наприклад, як в мелодії, так і в гармонії спостерігається прагнення до першої, основної ступені ладу. Це проявляється хоча б в тому, що в більшості випадків мелодія в кінці твору досягає першого ступеня. Але це закон з дуже багатьма винятками, так що не можна навіть говорити про закон в строгому сенсі слова. Можна лише відзначити деяку панівну тенденцію.

Саме в подібних тенденціях — вся суть тональної музики. Завдяки набутому раніше музичного досвіду композитор ці тенденції відчуває інтуїтивно і в одній конкретній ситуації віддає перевагу одному напрямку розвитку музичної думки, відкидаючи деякі інші рекомендації, а в іншій ситуації поступає навпаки. Чи можна допомогти машині придбати щось подібне такій інтуїції?

Відкладемо, однак, на час вирішення цього питання і звернемося до проблеми фантазії дуже важливого компонента будь-якої творчості. Як побачимо, обидва питання вдається вирішити одним і тим же методом.

Спрямована випадковість

Загально-філософські категорії необхідного і випадкового проявляються в кожному виді мистецтва. Не може бути твору мистецтва, який не підкорився б якимось закономірностям, якимось правилам, що виділяють «дозволені прийоми». Але жоден витвір мистецтва не виявляється життєздатним, якщо фантазія художника не призвела до оригінального, одночасно несподіваного і природного поєднання елементів. Закони, яким підпорядковується фантазія, можуть бути (і бувають) невідомі самому художнику, він теж не може передбачити, що йому фантазія підкаже в наступну мить. Тому є підстава вважати роботу фантазії не строго детермінованим, а випадковим процесом. Все сказане відноситься, зокрема, і до музики.

Звідки ж наша бідна обчислювальна машина візьме фантазію? Адже конструктори машини вважали своїм обов’язком домогтися того, щоб машина не вередувала, щоб вона неухильно і точно слідувала програмі і однозначно виконала б її. Робота машини нам здається самим уособленням точності і детермінованості.

Це дійсно так, якщо мати на увазі небажані помилки в роботі машини. Але в той же час навіть при виконанні доручення математиків машину іноді навмисне змушують діяти випадково, непередбачувано. Звичайно, саме в тих ситуаціях, коли цього хоче програміст. За допомогою подібною підходу реалізується в сучасній математиці так званий метод Монте Карло, який виправдовує себе в багатьох обчислювальних задачах. У зв’язку з цим придумані спеціальні прийоми, що дозволяють машині вибрати випадкове число — наприклад, випадковий дріб (число між нулем і одиницею).

Таким чином, в роботу машини може бути введена випадковість, що імітує фантазію художника. Однак ця фантазія не повинна бути сліпою. При творі мелодії композитор не бере ноти навмання, а вибирає одні звуки частіше, інші — рідше; після великого стрибка в мелодії, як правило, вибирається плавний хід і т. п. Такий спрямований спосіб дії доступний і машині. Пояснимо це на дуже простому прикладі.

Припустимо, що машина повинна будувати ритмічний малюнок, вибираючи довжини ніг. Припустимо, що характер музики такий, що восьмі повинні переважати над чвертями, скажімо, з’являтися в середньому в три рази частіше. Цього легко домогтися за допомогою випадкових чисел, якщо діяти наступним чином. Умовимося, що дріб від 0 до 0,75 буде означати, що машина вибрала («склала») одну восьму, а дріб від 0,75 до 1,00 буде означати вибір однієї четвертої. Нехай тепер випадковий дріб виявився рівним 0,31. Цю подію можна розглядати як елементарний акт натхнення, в результаті якого пишеться нота довжини одна восьма. Число ж 0,76 означало б вибір однієї чверті, і т. д. В середньому така тактика, як легко зрозуміти, дасть нам восьмих в три рази більше, ніж чвертей, але в той же час для кожної окремої ноти передбачити її довжину неможливо вона залежить від «машинного натхнення», тобто від непередбачуваного заздалегідь значення випадкового дробу.

Подібний метод можна використовувати як для вибору ритмічного малюнка, так і для вибору висоти нот (або ж для послідовності інтервалів, з яких побудована мелодія), для підбору супроводу, для вирішення питання про форму твору і т. д. При цьому від розподілу ймовірностей, які ми предпишемо машині, буде залежати загальний характер синтезованої музики, але в той же час ми ніяк не зможемо передбачити, який точний вигляд буде мати наступний «опус» машини. Елемент несподіванки тут проявляється приблизно в такій же мірі, як у композитора-людини.

Залишилося вище невирішеним питання про те, як при математичному синтезі музики моделювати попередній досвід композитора, його смак, тобто перевагу одних засобів вираження порівняно з іншими, це можна вирішувати саме за допомогою відповідного підбору ймовірностей. Таким же чином можна включати в процес синтезу правила типу рекомендацій: машина кине жереб і в залежності від результату вирішить, слідувати в конкретному випадку даній рекомендації чи ні.

Таким чином, композитор-автомат отримує принципову можливість обзавестися фантазією — вона дається використанням випадковості, тільки не сліпої випадковості, а спрямованої за допомогою відповідного вибору ймовірностей.

Тим самим знімається заперечення, яке висловлювалося за адресою машинного синтезу музики, а саме, що результатом синтезу може бути тільки застиглий, нецікавий твір, який отриманий «за всіма законами», але позбавлений оригінальності, або щось неймовірно хаотичне, отримане при проходженні сліпої випадковості.

Нові проблеми

Однак принципова можливість програми синтезу не означає, що така програма, що відповідає всім вимогам, вже в наших руках сьогодні чи буде готова завтра. Для практичного складання програми потрібно, по-перше, знання тих правил, які повинні виконуватися безумовно, по-друге, потрібно вказати ті параметри, значення яких будуть вибиратися випадково, і, по-третє, слід дати розподіл ймовірностей для цих параметрів. Крім того, потрібен сам алгоритм синтезу, тобто слід вказати, в якій послідовності будуть вибиратися значення всіх потрібних параметрів. Це питання є істотним тому, що ймовірності вибору одного параметра можуть залежати від вже обраного значення якогось іншого параметра.

Вирішення зазначених питань ставить перед теорією музики нові, незвичні питання. Традиційне Музикознавство, як правило, відповіді на ці питання не дає. Вже в самому факті постановки нових завдань хочеться бачити заслугу проблеми машинного синтезу музики. Для їх вирішення доводиться використовувати як результати традиційного музикознавства, так і методи математичного аналізу музики. Ілюструємо це одним прикладом.

У тональній музиці досить поширеним прийомом для побудови мелодії є метод секвенціювання. Під цим розуміється повторення деякого мотиву з відомим зрушенням вгору або вниз. Музикознавець Л. Мазель у своїй роботі «Про мелодії» висловлює цікаві думки про те, які секвенції характерні для музики того чи іншого стилю. Розглядалися прелюдії і фуги Баха, симфонії Гайдна і твори Чайковського. Отримані результати дозволяють уточнювати тези традиційного музикознавства. Крім того, вони можуть використовуватися при синтезі музики. Таким чином, математичний аналіз музики дає відомості, необхідні для синтезу.

Але і навпаки — результати синтезу дозволяють судити про те, наскільки глибоко і успішно був проведений аналіз. Тим самим вперше за багатовікову історію науки про музику результати роботи музикознавця зможуть проходити експериментальну перевірку. Усуваючи помічені дефекти, ми отримаємо вже кращу програму синтезу і т. д.

При складанні алгоритму синтезу, як вже говорилося, ми спираємося також на досягнення традиційної науки про музику, в тому числі на результати психології музичної творчості. Думається, що проблематика синтезу музики дає відчутний імпульс для подальшого розвитку цієї науки. Адже машина моделює — спочатку принаймні в сенсі результату — роботу композитора. Отже, успіх або неуспіх моделі дозволяє судити про цінність тих прийомів, які були покладені в основу побудови моделі. Якщо ці прийоми виявилися успішними, то можна сподіватися, що вони мають деяке відношення до тих процесів, які відбуваються в психіці композитора. Тим самим результативне моделювання поступово переростає у функціональне моделювання.

Те, що сьогодні ми ще багато чого не знаємо про роботу психіки, не повинно стати причиною відмови від експериментів по синтезу музики. Навпаки, успіхи в задачі синтезу можуть сприяти дослідженню психіки, точніше — розвитку психології творчості.

Автор: В. Детловс.