Мінімальне вікно в нескінченність: математика, зір і робота мозку

Що простіше – точка або відрізок? Якщо вважати, що відрізок складається з точок, то простіше, мабуть, точка. Як частина, що входить в ціле. Однак чи складається відрізок з точок, про це ще мова попереду. А ось вивчення механізмів зору переконливо показало, що коли свідомість конструює з елементів сприйняття геометричні образи, відрізок є більш простим об’єктом, ніж точка.

Здається безперечним, що такі об’єкти математики, як числа, рівняння, функції, ми бачимо «очима розуму» і реальний зір тут ні при чому. Та й в сучасній фізиці наочні уявлення начебто відступають перед інтелектуальними побудовами, перед ідеалізованими об’єктами. Але вже самий кустарний, що проводиться на дилетантському, з точки зору сучасної психології, рівні дослід самоспостереження дозволяє і фізику і математику помітити щось прямо протилежне.

А. Ейнштейн, відповідаючи Ш. Адамару на питання про роль слів і первинних елементів в мисленні, пише: «Елементи, про які я тільки що говорив, у мене бувають зазвичай візуального або зрідка рухового типу. Слова або інші умовні знаки доводиться підшукувати (насилу) тільки у вторинній стадії, коли ця гра асоціацій дала деякий результат і може бути при бажанні відтворена». Таке свідчення фізика.

Але справа, нарешті, не в окремих свідченнях окремих видатних вчених. Більш близькі до наших днів спеціальні психологічні дослідження показали, що візуальні образи супроводжують наші самі абстрактні розумові конструкції. Про вплив чуттєвого сприйняття, зокрема зорового механізму, на діяльність інтелекту було відомо вже давно, але до виникнення експериментальної психології ця проблема обговорювалася лише на загальному філософському рівні. А експериментальні методи цілком ясно показали, що результат відображення залежить не тільки від відображуваного об’єкта, але і від природи відображуючої системи. У приватному випадку – від механізмів роботи головного мозку.

Протягом багатьох століть математики вважали, що вони незамутнені ніякими почуттями «розумовим поглядом» проникають у вічні і незмінні інтелектуальні істини (так звана платоністська установка).

Але бездоганним математичним істинам не треба навіть було здійснювати гріхопадіння, щоб виявитися тою самою мінливою і земною людською натурою. Бо їх невинність з самого початку була лише уявною. Саме їх поява в науці саме в такому, а не в іншому вигляді, багатьом, виявляється, була зобов’язана органам почуттів Гомо сапієнса. І основному, найважливішому серед них – зоровому механізму. Він-то багато в чому і визначив основні концепції і взагалі обличчя класичної, або теоретико-множинної, математики.

Як ми бачимо? Світло потрапляє на сітківку ока, а далі, переходячи з одного нейронного рівня на інший, сигнал потрапляє в глибинні шари мозку, де і виникає осмислений образ побаченого.

Довгий час вважалося, що людина бачить «поточечно», тобто зоровий образ формується так само, як під дією електронно-променевої трубки зображення на екрані телевізора (мозаїка світлих і темних точок, що утворюють різні конфігурації). Насправді ж поточечне зображення існує тільки в першій інстанції, тобто на сітківці. Але далі, при переході з одного нейронного рівня на інший, відбувається укрупнення інформації, збирання її в блоки. Причому не за допомогою свідомості (до неї сигнал ще не дійшов), а чисто фізіологічно. Грубо кажучи, так вже влаштований мозок. При проходженні сигналу від сітківки вглиб мозку, за все більш великі ділянки зображення відповідає все менша кількість нейронів. Але ось сигнал досяг останнього рівня, по положенню на якому свідомість і створює зоровий образ. Цікавий факт експериментальної психології полягає в тому, що зображення на цьому, останньому рівні складається не з точок, а з цілісних конфігурацій.

Вчені, що досліджують дивовижні властивості зорового сприйняття людини, вдаються до найрізноманітніших і хитромудрих за своєю ідеєю дослідів. В одному з них, наприклад, за допомогою спеціальної оптичної апаратури зображення на сітківці фіксувалося так, щоб ніякі рухи ока не могли його змістити (зображення в цьому випадку рухалося разом з оком). Вже через кілька секунд зображення зникало внаслідок стомлення нейронів. Але при зникненні зображення випадали спочатку одні, потім інші елементи, причому випадаючі елементи завжди були з геометричної або смислової точки зору цілісними — це могли бути відрізки прямих, кола і т. д. З факту, що ці конфігурації зникають або з’являються відразу, цілком, за законом «все або нічого», природно укласти, що їх представництво у свідомості забезпечується невеликими нейронними ансамблями або поодинокими нейронами.

Отже, мозок створює образ дійсності, йдучи не від точок до фігур, а від фігур до точок. Причому «великоблочні» елементи настільки різноманітні і так добре підібрані, що їх комбінації можуть відтворити будь-який набір точок. Звичайно, точок фізичних, тобто точок з розмірами, цяток.

Здавалося б, така властивість нашого сприйняття має вигідно відрізняти нас від «братів наших менших». Насправді ж справа йде якраз навпаки. Відмінності тут немає. Виявляється, еволюція включила крупноблочність на дуже ранньому етапі свого земного експерименту. Для примітивних тварин в сенсі виживання істотно було мати не точкову картину світу, а швидко отримувати сигнали про деякі біологічно значущі характеристики області, що потрапляє в поле зору: про рух предметів (неважливо яких), про наявність невеликих чорних плям («жуків»), про появу тіней і т. д. Але швидкість доставки таких сигналів буде мінімальною, якщо виділення зазначених характеристик проводиться автоматично за стандартною програмою. Ускладнюючись і розвиваючись, тварини не могли кардинально перебудувати принцип передачі зорових образів в глибини мозку, і удосконалення повинно було йти по лінії ускладнення узагальнень…

Для тварин, звичайно, ніяких проблем у зв’язку з усім цим взагалі не виникає. Мета тварини – схопити іншу тварину, що годиться їй в їжу. Схопив – і вся недовга. І можна вважати, що твоя модель зовнішнього світу отримала ще одне експериментальне підтвердження.

У Гомо сапієнса, природно, підхід інший. Всі основні результати планіметрії Евкліда були, наприклад, відомі за століття до нього в багатьох країнах Сходу. Були відомі і успішно застосовувалися на практиці. І площі трикутників і трапецій вміли обчислювати, і будувати різні градуси і дуги і багато іншого. А все-таки історія науки геометрії завжди відраховувалася від появи «Начал» Евкліда.

Практичного вміння виміряти площу для математики було явно недостатньо. Більш того, це вміння виявлялося тут просто ні при чому. З виникненням науки мова вже пішла не про буквальний вимір конкретного багатокутника, а про встановлення правил для вимірювання всіх багатокутників деякого виду. Форма такого правила – формула. Доказ, що формула вірна завжди і скрізь, незалежно від часу і простору, від усіх мислимих і немислимих супутніх обставин, що вона випливає логічно просто з визначення фігури, — теорема. Теорема, що слідує з аксіом, – це вже щось вилучене з нашого мінливого, тлінного світу. Позачасова, ні від кого і ні від чого вже не залежна істина. Істина в останній інстанції.

Виробленням таких ось істин і займався протягом більш ніж двох тисяч років математичний цех всесвітньої науки. Пригнічені бездоганною строгістю дедуктивних умовиводів, навіть найзапекліші скептики не піддавали сумніву урочистий статус математичних тверджень. Всі знали, що у відповідь на півняче «а доведи», математик на відміну від представників деяких інших наук, не кажучи худого слова, тут же необхідний доказ і пред’явив би. Правда, основні поняття визначалися іноді дуже туманно (а то і з елементами містицизму, що і зовсім вже дивно для найточнішої з наук). Найяскравіший приклад тут – поняття нескінченно малої величини, з якого розвивалася грандіозна будівля диференціального та інтегрального обчислень.

Досить згадати, що математики в лютих суперечках і спробах «остаточно» визначити, що ж таке нескінченно мала величина, користувалися поняттями і образами, які здавалося, зійшли зі сторінок творів містиків.

Математика і містика – дві речі несумісні. Чи не так? Однак ж ось піди… Нескінченно мала отримала коректне визначення тільки в другій половині XIX століття. Математичний аналіз, що вже протягом століть служив практичною основою всього точного природознавства, придбав, здавалося б, і бездоганну логічну виправку. Відчуття досягнутої гавані посилювала і щойно створена теорія нескінченних множин Г. Кантора, яка з однакових позицій розглядала всі геометричні лінії, фігури і тіла як безліч точок.

Але, як в хорошому детективі, при повній безхмарності і навіть відсутності попереджувальних блискавок, грянув грім. На сцені з’явилися логічні парадокси. Мовою теорії множин можна було, виявляється, визначати об’єкти, логічно суперечливі самі в собі, а тому начебто і не існуючі. (Наприклад, безліч, яка була власним елементом тоді і тільки тоді, коли… не була ним.)

Назвемо властивість, яку можна застосувати саме до себе, самозастосовувальну. Наприклад, властивість «бути абстрактною» сама є абстрактною і тому відноситься до самозастосовувальної. А, скажімо, властивість «бути зеленим» саме зеленим, та й ніяким взагалі кольором не володіє. Такі властивості назвемо насамозастосовувальними.

А тепер спробуємо відповісти на одне простеньке питання: до якої з цих двох категорій відноситься властивість «бути несамозастосовувальною»? Легко бачити, що якщо прийняти її за несамозастосовувальну, то воно виявляється… самозастосовувальною. Якщо ж включити її в самозастосовувальну, то тим самим вона буде… несамозастосовувальною. Воістину зачароване, а точніше, логічне коло.

Дружина Цезаря – поза підозрами! А тут… які вже тут підозри, коли кричущі логічні протиріччя знаходять у самої «цариці наук».

«Наївна» теорія множин була безнадійно скомпрометована. Вона виявилася занадто багатою мовою. «Занадто», тому що, чим багатша мова, тим більше на ній можна висловити. А до чого в науці мова, настільки вільна, настільки широка, що в її термінах можна сформулювати явні протиріччя?

Треба було в терміновому порядку побудувати мову біднішу, яка б годилася для всіх істинних теорем і одночасно закривала би двері перед парадоксами. Це завдання було через кілька десятків років вирішене. Були створені навіть не один, а кілька мов, кілька систем, гарантованих від протиріч (найвідоміша з них — аксіоматична система теорії множин Цермело — Френкеля).

Але відразу ж виявилися два “але”. Перше: ці мови виявилися складними і, головне, абсолютно непридатними для конкретної математичної роботи. Було очевидно, що переформулювати, перекладати історично і практично цінні фрагменти математики, наприклад аналіз, на мову системи Цермело – Френкеля ніхто ніколи не буде.

І друге: після аксіоматичного уточнення поняття безлічі підозрілість по відношенню до нього у математиків не розсіялася. Адже поряд з теорією множин уточненню, більш суворому формулюванню піддавалися і багато інших понять та математичних об’єктів. Багато етапів пройшло, наприклад, поняття лінії, поки не знайшло нарешті цілком суворого і точного свого формулювання (ми не наводимо його, так як воно доступне тільки математику, знайомому зі спеціальними розділами топології). І що ж? Виявилося, що згідно з останнім строгим і точним визначенням можна, побудувати лінію, що суцільно заповнює внутрішність квадрата. Лінія, еквівалентна шматку площини! М’яко кажучи, щось це не дуже близько до інтуїтивного образу лінії. Зате лемніската Бернуллі (красиве наукове ім’я для звичайної вісімки) згідно з цим «строгим» визначенням в лінії не потрапляє. Як то кажуть, куди підеш, кому скажеш…

Або поняття безперервності. Графік безперервної функції представляється нам плавною кривою, без розривів і різких вигинів. Однак же Вейерштрасс побудував функцію, яка в повній відповідності зі строгим визначенням була функцією безперервною і одночасно такою, що не має жодної плавної ділянки. Вона буквально в кожній точці різко змінювала свій напрямок. Таке і взагалі-то уявити важко (неможливо), а тут ще, немов у насмішку, мова йде про функції безперервні.

Ось і з’ясувалося, що існують дві «лінії»: одна загальномовна (інтуїтивний образ якої виникає у нас при вживанні слова «лінія») і друга — математична. І точно так само існують дві безперервності. Десь перші крива і безперервність схожі з другими, а десь і… нічого схожого. Однак в самій математиці уточнені поняття працюють бездоганно. Тому-то вчені і зупинилися саме на таких формулюваннях.

Однак це кидає вже тінь на всю систему утворення математичних об’єктів. Вставало питання, які визначення законні, а які є всього лише дозвільною грою розуму і тому в науку допущені бути не можуть. Таким чином, мова повинна була вже піти (як реально і сталося) не про визначення якогось конкретного математичного поняття, а про визначення самого поняття «визначення».

Перш за все, під підозру підпала основа старої наївної теорії множин, абстракція актуальної нескінченності. Актуальна нескінченна безліч – така, яка вважається представленою всіма своїми елементами одночасно. Така, наприклад, безліч цілих або безліч дійсних чисел, що розглядається як дана цілком, як завершений ансамбль, безліч, з якою можна маніпулювати, як з цілісним об’єктом.

Уявімо собі натуральний ряд (тобто цілі позитивні числа 1, 2, 3 і т. д.), як річку, яка починається з одиниці, причому дельта річки знаходиться нескінченно далеко (ряд-то нескінченний!) Покладемо, що ми, перебуваючи біля витоку цієї річки, стали підніматися вгору на повітряній кулі. Зрозуміло, чим вище ми піднімаємося, тим далі відкривається горизонт. Піднялися, скажімо, на кілометр, Річка чисел проглядається до тисячі. Продовжуємо підйом, ось вже показався мільйон, потім мільярд… Однак ясно, що так як річка нескінченна, то на яку б висоту ми не піднялися, дельти нам так і не побачити.

І все ж наука такої висоти здатна досягти. Вона-то і називається «Абстракція актуальної нескінченності». Математики, які визнають цю абстракцію, звертаються з нескінченною множиною як з закінченим, цілком доступним об’єктом.

Підозри швидко посилювалися, і скоро ціла група математиків відмовилася визнавати актуальну нескінченність законним способом утворення математичних понять. І треба сказати, що основний винуватець «смутного часу» був вгаданий абсолютно правильно. Адже «за спиною» і лінії, що цілком заповнює внутрішність квадрата, і безперервної функції, що складається з суцільних кутів, і багатьох інших неймовірних, фантастичних, а то й просто суперечливих об’єктів стояла саме актуальна нескінченність. Без її участі вони просто не змогли б з’явитися на світ.

Але яку кандидатуру висунути натомість? Як повернути математичним результатам статус незаперечності для всіх і завжди? Які уявні операції можна вважати абсолютно, стовідсотково надійними? З цього приводу одностайності в стані «критиків» не було.

У тридцяті роки минулого ХХ століття почали активну діяльність математики так званого конструктивного напрямку. Основним поняттям класичної математики є множина, основним поняттям математики конструктивної – алгорифм (він же — алгоритм).

Алгорифм – це чітка інструкція, програма дій, яка, будучи застосована до деяких вихідних об’єктів (наприклад, до чисел) через кінцеве число кроків повинна привести до деякого результату. Всі комп’ютерні програми – це особливим чином записані алгорифми. Правило множення в стовпчик – теж алгорифм. Більшість формул для обчислення – алгорифми.

З точки зору конструктивіста, в математиці об’єкти існують остільки, оскільки вони можуть бути побудовані. Будуються ж нові об’єкти з вже наявних, вихідних, за допомогою різних алгорифмів, за кінцеве, хоча, можливо, і дуже велике число елементарних кроків.

Уявімо собі, що наша річка натуральних чисел рухається, відраховуючи елементарні кроки, елементарні операції, які потрібні, щоб деякий алгорифм побудував новий об’єкт з вихідних. Так ось, при такому порівнянні можна сказати, що конструктивісти відмовляються розглядати об’єкти, для побудови яких потрібно досягти дельти нескінченно довгої річки. Вони згодні, що іноді доводиться виконати довгий, дуже довгий шлях. Але залишити позаду нескінченність вважається вже нереальним.

Тим самим в конструктивну математику відразу перегороджується доступ всім парадоксальним об’єктам, за спиною яких стоїть актуальна нескінченність. Звичайно, така математика бідніша, обмеженіша за складом, ніж класична. Зате її об’єкти куди більш реальні, ніж багато чудес в решеті класиків. Або об’єкт вже побудований, і на нього можна просто вказати, або ж пред’являється алгорифм, щодо якого доведено, що, будучи застосований до певного вихідного слова, він за кінцеве число кроків видає необхідний об’єкт як результат своєї роботи. Конструктивіст любить повторювати, що він «бідний, але чесний».

Конструктивна математика явно надійніше класичної. Але думка, що вона є теорією простішою, більш, чи що, механічною, примітивною, ніяк не відповідає дійсності. Конструктивні математичні об’єкти, наприклад конструктивні дії числа, – це, навпаки, істоти тонкі, складні, часто з вельми загадковими, невловимими властивостями. Рівність двох чисел, наприклад, вдається в цій математиці встановити далеко не завжди.

Які ж інструкції, ті елементарні кроки, які складають зміст роботи алгорифма? Адже для того, щоб конструктивна математика не втратила свою основну привабливу сторону — надійність, ці кроки повинні бути надзвичайно простими, недвозначними, словом, повинні зводитися до якихось зрозумілих кожному операціям. І вони насправді є такими. Елементарні кроки і справді гранично елементарні. Це може бути «операція перестановки» (якщо у вихідному об’єкті — слові зустрілося поєднання АВ, треба переставити букви, тобто отримати поєднання ВА), «операція вписування букви» (АВ – АСВ), «стирання букви» (АВВА – АВА), операція зсуву вправо або вліво, тобто розгляду сусіднього з даними символу. Аналіз цих типових операцій, до яких зводиться робота будь-якого алгорифма, призводить до наступного питання: які механізми, які здібності людського мозку забезпечують реалізацію алгорифмічних процедур?

Аналіз набору атомарних операцій показує, що перш за все необхідні: здатність розрізнення декількох букв (цеглинок, з яких складається вихідний об’єкт, слово), здатність запам’ятовування на як завгодно тривалий час (принаймні однієї літери), вміння послідовно переходити від даної букви до сусідньої, здійснюючи перехід іноді вліво, а іноді вправо. Необхідно ще вміння вставляти або забирати певні букви.

Назвемо ті здібності, той інтелектуальний і психологічний механізм, який дозволяє нам реалізувати алгорифми, А-пристроєм. Тоді у філософів, психологів і математиків виникає закономірне питання: А яка структура А-пристрою і, найголовніше, якою може бути його мінімальна складність?

У книзі В. Тростнікова «Конструктивні процеси в математиці» наводиться математично суворий опис схеми такого пристрою, здатного реалізувати будь-який алгорифм. Йдеться по суті справи про математичну модель того фрагмента психіки людини, який відповідальний за виконання алгорифмічних операцій. А цей фрагмент – обов’язковий базис, на основі якого тільки й можуть розвиватися вищі здібності — творче мислення, фантазія, уява, інтуїція.

Ми не відтворюємо опису цієї моделі через його громіздкість. Складність А-пристрою, підрахована як кількість можливих відповідних його реакцій, дорівнює приблизно півтори тисячі. В. Очеретников пише: «в деякому роді це кількість «комутацій», з’єднань. За аналогічною шкалою складність вимикача для люстри становить кілька одиниць. Отже, досить приблизно можна сказати, що складність психічного механізму, що забезпечує людині можливість працювати з будь-яким алгорифмом Маркова, всього в кілька сотень разів перевершує складність вимикача. Звичайно, для такої багатої нейронами речі, як людський мозок, це зовсім невелика складність… Тим не менш… ця порівняно невисока складність дозволяє робити в деякому сенсі абсолютно все».

Абсолютно все… Чи не правда, за цими словами здається мало не привид філософського каменю. Про що ж реально йде тут мова?

Існує таке поняття: час роботи алгорифма. Однак це не звичний нам, фізичний час. І вимірюється він не в секундах, хвилинах або роках, а в кількості кроків, елементарних операцій, які алгорифм вже справив з початку роботи. Візьмемо, наприклад, знайоме всім правило (алгорифм) множення чисел в стовпчик. Ми починаємо з множення крайніх правих цифр, перемножуємо числа і записуємо під рискою праву цифру результату, а решта поки запам’ятовуємо. Це і є початок роботи алгорифма, і час його роботи після першого запису — 1 крок. Навіть у міру виконання наступних кроків зростає і час роботи алгорифма: 2 кроки, 3 кроки, і так далі, до отримання остаточного результату.

Самі алгорифми можуть бути простими і складними. Тобто, іншими словами, короткими і довгими, містити мало або багато інструкцій, правил. Точно так само простими або складними можуть бути і вихідні об’єкти, до яких алгорифми повинні застосовуватися.

Розглянемо тепер пару, що складається з алгорифма і вихідного об’єкта. Що відбувається з нею з плином алгорифмічного часу, тобто в процесі переробки алгорифмом вихідного об’єкта?

Якщо пара (алгорифм — вихідне слово) занадто проста, то з плином часу її складність не зростає, а, навпаки, зменшується. Іншими словами, прості алгорифми, працюючи над простими словами, не можуть збільшувати складність пари, а тільки зменшують її. Якщо ж пара досить складна, то положення докорінно змінюється: в процесі переробки конфігурація все більш ускладнюється. У цьому випадку відбувається спонтанне прирощення інформації, що, свідчить на користь філософської тези про творчий потенціал часу.

Де ж лежить поріг, що розділяє пари на такі, що самовироджуються і такі, що самоускладнюються? Визначена в тій же шкалі, що і при обчисленні складності А-пристрою, складність цього порога становить близько тисячі одиниць. Іншими словами, А-пристрій (складність якого, як ми пам’ятаємо, дорівнює півтора тисячам) знаходиться мало не відразу за цим порогом. Саме тому і можна сказати, що А-пристрій «показує нам приблизний мінімальний розмір вікна, через яке математикам відкривається нескінченність». Як видно, природа подбала, щоб це вікно не було занадто великим; виявляється, малими засобами за допомогою часу можна досягти необмежено великих результатів.

Коли в математиці, приблизно на рубежі століть, виникла сильна опозиція теорії множин і актуальній нескінченності, опозиціонери найменше грунтувалися на даних нейрофізіології та експериментальної психології. Відповідні дисципліни тільки зароджувалися, та математики і не цікавилися ними. Критика використовувала тільки логічні і власне математичні аргументи. Але останні десятиліття виявили дивовижні збіги результатів цієї критики з вивченням роботи людського мозку, став ясним зв’язок між інтелектуальною інтуїцією і особливостями чуттєвого контакту із зовнішнім світом. Стало, наприклад, очевидним, що основні поняття класичного математичного аналізу (такі, як безперервність) «примусово виникають» в нашій свідомості і тільки заднім числом набувають статусу позачасових істин, логічно бездоганних платонівських ідей.

А математики-конструктивісти, виходячи з чисто логічної критики актуальної нескінченності, прийшли, врешті-решт, до виділення деякого фрагмента людської психіки, відповідального за реалізацію елементарних алгорифміних процедур. У чому полягає підвищена надійність конструктивних методів? Саме в тому, що вона використовує найпростіші і тому загальні всім людям психомоторні навички.

У кожній людині закладений А-пристрій, що працює стійко і одноманітно. Без цього мінімального ядра зі складністю в тисячу з чимось одиниць неможливими були б ніякі чіткі розумові операції, і весь світ, що сприймається нами придбав би примарні риси і став би подібний світу Керролла, описаному в «Алісі».

Отже, історично розвинений в надрах самої науки, чіткий поділ класичної і конструктивної математик, дозволив несподівано заглянути в таємниці роботи людського мозку. Більш того, він дозволив чітко розрізнити абстракції, якими в повсякденному, практичному мисленні людина користується в нерозчленованому, складно переплетеному вигляді. Більш того, при побудові моделі найпростіших, базових операцій мислення, стали можливими кількісні та якісні оцінки його складності.

Автор: А. Морозов.