Нескінченність у математиці: розвиток поняття та значення в науці
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Інтерес до дуже великих чисел з’явився з самої глибокої давнини. Щоб сказати про щось, що дуже велике, єгиптяни вдавалися до образних порівнянь. В одному з текстів гробниці жерця бога Аі (XIV ст. до н. е.) говориться: «Так нагородить тебе він (Бог) ювілеями, як число піску на березі моря… або вага гори, зваженої на вагах, або пір’я птахів, або листя дерев». Єгиптянам було важко висловити інакше свою думку, так як у них не була достатньо розвинена система числових позначень. Але вже більше 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні з’явилася шестидесяткова система числення, і вавилонські математики вільно справлялися з дуже великими числами.
В одній з таблиць наводяться всі дільники числа 195 955 200 0000 00. Про дуже великі числа говориться і в індуських легендах про Будду. За однією з них його ще в дитинстві випробували в числах і, переходячи від одного розряду до іншого, він дійшов до чисел, якими виражається весь пісок десятка лакхів (лакх – 100 000) річок, таких, як Ганг. А ще в одній стародавній індуській книзі розповідається про порівняння, в якому брали участь 10 в 23 ступені мавп. Такої кількості мавп не змогла б вмістити вся Сонячна система!
Очевидно вже єгиптяни і вавилоняни прийшли до ідеї вічності – до думки, що течія часу не матиме кінця. Ця ідея яскраво виражена у східній притчі: «Ось алмазна гора висотою в тисячу ліктів. Раз у сторіччя прилітає пташка і точить свій дзьоб об гору. Коли вона сточить всю гору, пройде перша мить вічності».
Однак і в Єгипті, і в Вавилоні ще не було думки про нескінченність простору. Вважалося, що небо – це тверда сфера, яка спирається на Землю, а що знаходиться за межами сфери, смертним знати не дано. Але вже в VI ст. до н. е. в Стародавній Греції виникла ідея нескінченності простору. Грецькі вчені говорили: «Де б не став воїн, він зможе протягнути свій спис ще далі». (Тепер ми знаємо, що це міркування доводить не нескінченність простору, а лише його необмеженість, але в давнину такі тонкощі були недоступні розуму вчених.) Так виникли модель світу, нескінченного у всіх напрямках і вічного в часі. Найбільш сміливі мислителі стверджували навіть, що світ не мав і початку.
Ділиться або не ділиться?
Після того, як з’явилася ідея нескінченності, інтереси вчених звернулися не тільки до нескінченно великих величин (вічності, нескінченного простору), але і до величин нескінченно малих. Повсякденний досвід вчив, що хліб, яблуко, глечик вина можна розділити між сидячими за столом. У разі необхідності можна кожну з частин знову розділити на частини. Але через кілька кроків виходили настільки маленькі частини, що далі поділ ставав неможливим. Щоб дати уявлення про настільки малі величини застосовувалися такі образи, як « порошинка», «макове зерно» і т. д. Але чи можна ділити на частини порошинку? Повсякденний досвід тут не допомагав, і його місце мали зайняти умогляди. І ось, сперечаючись про устрій тих нескінченно малих величин, з яких складений весь видимий світ, математики і філософи розпалися на два табори.
Представники одного з них визнавали можливим нескінченне ділення. Вони говорили, що «серед малих величин не існує найменшої, але зменшення йде безперервно, бо існуюче не може перестати існувати» (Анаксагор, V ст. до н. е.). Представники другого табору заперечували: «якщо поділ двох величин на частини може продовжуватися до безкінечності, то немає підстави вважати одну величину більше, ніж інша, а сама природа нерівності знищується». Їм здавалося – якщо будь-яку річ можна розділити на нескінченну безліч нескінченно малих величин, то всі речі виявляться рівними одна одній – всі вони будуть складатися з однакового числа однакових величин. Ідея, що і нескінченність має свої градації, свої щаблі, не приходила їм у голову – для цього і математика і філософія мали пройти дуже довгий шлях розвитку.
Шукаючи вихід із цього утруднення, представники другого напрямку і філософії припустили, що всі тіла складаються з далі неподільних часток – атомів. Атомісти обговорювали, які ці атоми, – чи мають вони розміри і неподільні в силу крайньої твердості і відсутності порожнеч або ж навпаки, вони неподільні, оскільки не мають розмірів.
Таким чином, атомісти і їх противники розходилися лише в поглядах на природу речей. У тому, що сам простір безмежно ділимий, не сумнівався ніхто. Але в середині V століття н. е. філософ Зенон Еленський відкрив, що припущення про нескінченну подільність простору призводить до суперечностей. Він стверджував: якщо простір можна ділити на будь-яке число частин, то не може бути руху. Адже стріла випущена з лука, перш ніж потрапити в ціль, повинна пролетіти половину шляху, а до цього вона повинна пролетіти чверть шляху, а до цього – одну восьму шляху і т. д. І так як процес розподілу шляху навпіл ніколи не скінчиться, то політ стріли ніколи не почнеться, стріла завжди буде нерухома. Точно так само Зенон «доводив», що прудконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху.
Аргументи Зенона показали, які наївні були уявлення про нескінченність, що панували в тодішній філософії та математиці. Виявилося, що кінцевий відрізок можна розбити на нескінченне число відрізків, кожен з яких має кінцеву довжину – а до Зенона всі вважали, що сума нескінченного числа протяжних відрізків нескінченна.
Цікаво, що зараз в теоретичній фізиці несподіваним чином виникають протиріччя, що чимось нагадують протиріччя Зенона. Тільки у Зенона нескінченним виявився час, за який стріла пролетить відстань до цілі, а у сучасних фізиків нескінченна енергія взаємодії електрона з породжуваним ним електромагнітним полем. І може бути, причини труднощів Зенона і сучасних фізиків чимось споріднені – в обох випадках мова йде про будову простору в малому, про можливість застосовувати до мікросвіту поняття, що виникли в буденному житті.
Після Зенона не можна було поводитися з нескінченністю з недбалістю, характерною для його попередників. Не можна було більше говорити, що «коло – це правильний багатокутник з нескінченно великим числом сторін», а що «піраміда складається з нескінченного числа багатокутників» (втім, такі твердження траплялися в деяких підручниках математики в XIX столітті, через два тисячоліття після Зенона).
Але філософи не відразу відмовилися від звичних понять. Щоб відновити нескінченність в правах, Демокрит створив теорію про існування найдрібніших, неподільних далі частин ліній, площ і тіл. При цьому він, очевидно, мав на увазі не фізичні тіла (фізичний атомізм був створений Леокіппом задовго до Демокрита), а нове уявлення про устрій самого геометричного простору. Якби Демокриту вдалася його спроба, міркування Зенона втратили б своє вістря – як тільки в процесі розподілу ми дійдемо до неподільних далі частин простору, все піде як по маслу – стріла полетить в ціль. Ахіллес наздожене черепаху і т. д. Однак теорія простору за Демокритом занадто суперечила усталеним уявленням. Іншу спробу врятувати становище зробив найбільший філософ давнини Аристотель. Він допускав нескінченний процес розподілу навпіл, але заперечував можливість розділити відрізок на нескінченну безліч нескінченно малих частин.
Рахунок піщинок
Суперечки Демокрита, Зенона, Аристотеля були вельми важливі для філософів. Але головним чином вони хвилювали математиків. Адже сама ідея нескінченності наскрізь математична, на ній будувалися багато математичних методів, і критика Зенона безпосередньо зачіпала віру у справедливість отриманих результатів. Треба було підводити фундамент під похилену будівлю. У першу чергу треба було зміцнити ту найпростішу математичну модель, яка відображала ідею нескінченності – ідею нескінченного числового ряду.
Поняття про такий ряд мало найважливіше значення для всього ходу розвитку математики. Зараз навіть учень неповної середньої школи знає, що числовий ряд нескінченний, що серед натуральних чисел немає найбільшого, а за кожним натуральним числом йде наступне. Але колись ідея про нескінченність числового ряду була найбільшим завоюванням математичної і філософської думки.
І хоча грецькі вчені й знали, що числовий ряд нескінченний, вони не вміли записувати занадто великі числа. Найбільшим числом, яке вони вміли називати, була октада, тобто 10 в третьому ступені. Тільки в ІІІ ст. до н. е. з’явився твір Архімеда «Псамміт» («Обчислення піщинок»), де він показує існування числа, більшого, ніж число всіх піщинок у кулі, радіус якого дорівнює відстані до сфери нерухомих зірок (в ті часи думали, що всі зірки прикріплені до сфери, в центрі якої знаходиться Земля). Хоча відстань від Землі до зірок Архімед взяв занадто малою, але його система числення була такою, що з її допомогою можна було б висловити навіть число атомів в світі, радіус якого дорівнює відстані до найвіддаленішої туманності.
Якщо з ідеєю нескінченності в арифметиці справи йшли порівняно благополучно, то про геометрію цього ніяк не можна було сказати. Адже саме протиріччя з звичними геометричними уявленнями завдало рішучого удару уявленням Демокрита. Навіть розподіл відрізка навпіл перетворювався у нього в майже нерозв’язну проблему. Уявіть собі відрізок, що складається з непарного числа неподільних. Куди віднести середню неподільну – до правої або лівої половини відрізка?
В обох випадках отримаємо нерівні відрізки, і розподіл навпіл виявиться неможливим. Неможливо було б розділити навпіл і коло – центр кола відійшов би до однієї з частин і воно виявилося б через це більше іншої частини. Звичайна геометрія справлялася з цим зовсім просто – при розподілі відрізка навпіл обидві частини забезпечувалися кінцями, і ніхто не замислювався над тим, що з однієї точки – середини відрізка – вийшли дві. Геометри не сприймали відрізок як безліч точок. Їх цікавила лише довжина цього відрізка, а від додавання або віднімання однієї точки довжина відрізка не змінюється.
І все-таки, користуючись атомістичними уявленнями, Демокрит зумів вирішити важкі математичні завдання. Зокрема, це саме він знайшов вираз для об’єму піраміди. Але, незважаючи на всі ці успіхи, математики того часу зустрілися з нерозв’язними проблемами. Апорії Зенона настільки суперечили повсякденному досвіду, що поставили перед математиками питання – а чи можна користуватися в математичних міркуваннях поняттям нескінченного? Слідувати за Демокритом їм теж не хотілося – не мати можливості розділити відрізок навпіл, вважати піраміду і кулю шорсткими тілами їм не сподобалося.
І математики вигнали неподільні зі своєї науки. Разом з неподільними з математики була вигнана і нескінченність. І ось Евклід, формулюючи свою знамениту теорему про безліч простих чисел, виражається дуже обережно – «простих чисел існує більше всякої запропонованої кількості простих чисел». Бачите – «більше всякої запропонованої кількості», а нескінченно багато чи ні – про це Евклід замовчує. Він, як і всі сучасні йому математики, намагався уникати поняття нескінченності.
Відкинувши неподільні і нескінченні процеси, математики опинилися в скрутному становищі – методи Демокрита, хоч і не строго, але все-таки давали формули для обчислення площ і об’ємів. Тепер же довелося розробляти новий спосіб обчислення геометричних величин, в якому б ні звуку не говорилося про нескінченність, про нескінченно малі, про неподільні. Таку процедуру створив у IV ст. до н. е. Евдокс, який розробив метод вичерпання (або, інакше, виснаження), в якому деякі бачать предка сучасного методу меж. Коли Евдоксу хотілося, наприклад, довести, що площі кіл відносяться, як квадрати їх діаметрів, він спочатку припускав противне, – скажімо, що ставлення цих площ більше відношення квадратів діаметрів. А потім він будував такі багатокутники, що один з них був менше іншого, а площа його виявлялася більше площі іншого. Це протиріччя доводило помилковість зробленого припущення.
Всім хороший був метод Евдокса, але у нього був великий недолік – спочатку треба дізнатися, який результат потрібно довести цим методом. А це можна було зробити лише за допомогою відданих анафемі методів Демокрита. Загалом, гони нескінченність в двері, вона влетить у вікно.
І лінь буває корисна
Втім сама вона, звичайно, не влетить. Промайнули століття, і досягнення стародавніх греків були міцно забуті. Про нескінченність якщо й згадували, то тільки в дебатах на тему: «Чи нескінченна кількість ангелів, яка може поміститися на кінчику голки?». І лише в XVI -XVII століттях вчені стали знову, незважаючи на переслідування інквізиції, придумувати інфітізімальні – тобто засновані на понятті нескінченно малого – математичні методи.
І, ймовірно, ми й не здогадувалися б, наскільки античні математики випередили середньовічних, якби не одна подія, що трапилася вже на початку XX століття. У 1906 році приват-доцент Петербурзького університету Попандопуло-Керамевса знайшов у бібліотеці одного з єрусалимських монастирів якийсь богословський трактат. Так як у середні віки пергамент був дуже дорогий, то зазвичай брали древні книги, змивали або стирали з них язичницькі тексти і писали житіє якогось святого мученика. Того ж походження був і рукопис, що зацікавив Попандопуло. Приват-доцент був дуже слабкий в математиці і не надто зацікавився залишками змитого тексту (на щастя, монах, який писав трактат, полінувався і тільки змив текст, а не стер його). Він навів тільки маленьку цитату з давнього рукопису. Але для знаменитого данського історика математики Генберге цього уривка виявилося достатньо, щоб встановити – монах змив текст Архімеда.
Це був лист до Ератосфена. У ньому Архімед показує, як користуватися методом неподільних. Він розкладає циліндри, конуси і кулі на надзвичайно тонкі кружальця, доводить потрібне йому положення для одного з них, зазначає, що висновок повинен бути вірний і для інших, і, нарешті, каже абсолютно заборонену правовірним математикам фразу: так як тіло все складене з таких кіл і цілком заповнене ними, то твердження вірне для всього тіла.
Але лист Архімеда Ератосфену став відомий лише на початку XX століття. А серйозне, глибоке вивчення нескінченних множин, аналіз поняття нескінченності, почався лише в середині XIX століття. Творцями математичної теорії нескінченних множин були чеський вчений Б. Болтано (основна праця якого була, нажаль, опублікована лише через багато років після його смерті) і німецький математик Георг Кантор. Цікаво, що обидва творця теорії нескінченних множин були добре знайомі зі схоластичною наукою – Болтано був ченцем, а Кантор володів казуїстикою Талмуду. Але їм вдалося подолати порожнечу схоластичних суперечок і перетворити теорію нескінченних множин на важливу частину математики.
Автор: Н. Виленкин.