Невирішені математичні завдання

Рішення важкої математичної проблеми можна порівняти зі взяттям фортеці. Падінню математичної фортеці зазвичай передує тривала і наполеглива облога. Спочатку розвідуються шляхи підходу до цитаделі — можливі шляхи вирішення. Потім одна за одною захоплюються позиції, що прикривають підступи до проблеми. (У багатьох випадках для взяття фортеці доводиться використовувати абсолютно нову техніку — розробити математичні методи, що не зустрічалися до сих пір.) Після цього починається штурм. Він призводить до падіння деяких фортів — вирішення частини з випадків досліджуваної проблеми, з’ясування їх зв’язку один з одним. Це дозволяє зрозуміти загальний план фортеці, а тоді вже не встояти і ключовим позиціям. Нарешті, настає щасливий день – фортеця взята, проблема вирішена.

Після падіння чергової математичної фортеці починається період швидкого просування вперед: одна за одною вирішуються великі і малі задачі, виявляються абсолютно несподівані зв’язки, відшукуються важливі практичні застосування. Зрозуміло, це просування не нескінченно — новостворені методи виявляються недостатніми для вирішення нових завдань, сама постановка яких була неможливою до вирішення проблеми: на шляху наступаючих військ постають нові бастіони.

Зрозуміло, не завжди рішення проблеми протікає так, як було описано вище. Іноді падіння фортеці є результатом прориву на іншій, далекій ділянці математичного фронту. Після такого прориву можна піднятися на висоти, з яких всю фортецю видно, як на долоні, а тоді легко скласти план її штурму.

Але якщо в історії воєнних дій невідома ні одна фортеця, яка витримала б облогу більше десяти років, то в математиці є невирішені проблеми, над якими думають вже понад двох тисяч років. Причому найчастіше ці проблеми формулюються настільки просто, що зрозуміти їх може школяр шостого класу.

Одне з найбільш старих невирішених завдань пов’язане з досконалими числами. Так називають числа, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (включаючи одиницю, але виключаючи саме число). Наприклад, досконалими числами є числа 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 та інші. Існує правило для відшукання всіх парних досконалих чисел. Якщо 2^p — 1 це просте число, то 2^p-1 досконале число. Інших парних досконалих чисел немає. Але досі ніхто не знає, чи є хоч одне непарне досконале число. Всі підрахунки, зроблені і в комп’ютерах, не привели до відкриття таких чисел. У той же час поки відсутній і доказ того, що таких чисел немає.

Багато зусиль було витрачено на вирішення інших завдань, також висхідних до давньогрецької математики, — задач про побудову циркулем і лінійкою квадрата, рівновеликого даному колу (завдання про квадратуру кола), і про поділ довільного кута на три рівні частини (задача про трисекцію кута). Всі зусилля, спрямовані на вирішення цих завдань, не привели до мети. Нарешті, в минулому столітті було доведено, що які б складні побудови ми не робили, які б лінії і кола не проводили, перетворити коло на рівновеликий квадрат або поділити довільний кут на три рівні частини не вдасться. Щоб прийти до такого результату, знадобився багатовіковий розвиток математичного аналізу та теорії алгебраїчних рівнянь, знадобився абсолютно новий підхід до математики — для греків сама ідея, що можна довести неможливість вирішення якогось завдання, була глибоко чужа.

Хоча вже давно доведена неможливість вирішення завдань про квадратуру кола і про трисекцію кута, в математичні установи різних країн досі приходять листи з «рішеннями» цих та інших складних завдань. Автори подібних «робіт» володіють досить слабкими знаннями з математики і зовсім не сприймають критику їх «діяльності».

Велика теорема Ферма

А ось з так званою великою теоремою Ферма справа йде складніше. Французький юрист П’єр Ферма (1601-1665) на дозвіллі займався теорією чисел і отримав ряд важливих результатів. Він не записував своїх доказів, тому після смерті Ферма багато отриманих ним результатів прийшлось доводити заново. Це вдалося зробити майже для всіх теорем Ферма (одне припущення виявилося невірним), але одна теорема не піддалася зусиллям математиків. А серед них були чудові вчені, наприклад, Леонард Ейлер. Формулювання цієї «невирішеної» теореми дуже просте. Якщо натуральне число n>2 рівняння хⁿ + yⁿ = zⁿ не можна розв’язати в цілих додатних числах (при n=2 такі рішення існують, наприклад, x=3, y=4, z=5)

Багато математиків-любителів присвятили все своє життя спробам довести цю теорему. Один з них, такий собі Вольфскель, навіть заповів великі гроші — 100 000 марок тому, хто вирішить проблему Ферма. Це викликало новий потік робіт. Їх надсилали інженери, вчителі, священики, банкіри, світські дами і т. д. Рішення були найрізноманітнішими, і лише одна риса їх об’єднувала — повне невігластво в галузі математики, нерозуміння всієї складності проблеми. Про діяльність ферматистів серед математиків ходять різні легенди. Розповідають, наприклад, що один ферматист надіслав до Академії наук таку телеграму: «Вирішив проблему Ферма! Основна ідея — перевести zⁿ в ліву частину рівності. Подробиці листом».

Зрозуміло, проблемою Ферма займалися і серйозні математики. Їм вдалося довести, що твердження Ферма справедливо для всіх n

Дослідження проблеми Ферма призвели до розвитку важливої області математики — теорії цілих алгебраїчних чисел. Ще до першої світової війни Гіттінгенське математичне товариство двічі присуджувало заохочувальні премії за просування в області проблеми Ферма. Однак зараз математичний інтерес до проблеми Ферма невеликий — вона стоїть в стороні від головних шляхів розвитку математики.

Проблема Ферма — не єдина нерозв’язана проблема в теорії чисел. Досі невідомо, наприклад, чи нескінченна безліч натуральних значень n, при яких 2ⁿ+1 — просте число. Невідомо, чи є кожне парне число сумою двох простих чисел. У 1937 році академік В. М. Виноградов довів, що кожне досить велике непарне число є сумою трьох простих чисел. Проте межа, починаючи з якої виконується твердження Виноградова, настільки велика, що один математик назвав її жартома такою, що виходить за межі Галактики — число атомів в Галактиці незмірно менше цього числа. Невідомо, чи є кожне досить велике натуральне число сумою простого числа і квадрату натурального числа.

Ймовірно, читач може поставити питання, а чи потрібні рішення цих проблем, чи не належать вони до числа таких, про яких кажуть «сім років мак не родив, і те й голоду не було». Треба сказати, що сумніви в практичній значущості теорії чисел висловлювали і багато вельми видатних вчених. Розповідають, наприклад, що одного разу відомий кораблебудівник академік Ш. Н. Крилов, виступаючи на вшануванні одного відомого фахівця в області теорії чисел, виголосив таку промову: «Вельмишановний NN, коли я закінчив Морську академію, мій незабутній вчитель Олександр Миколайович Коркін запитав мене:

— Чи не хочете ви, Олексій Миколайович, зайнятися теорією чисел?
— Які там проблеми? — запитав я його, в свою чергу.
— А ось візьміть число 2n+1, з’ясуйте, коли воно просте, а коли складне, і прославитеся на весь світ.
— Мені для практики байдуже, чи просте воно чи складне, — сказав я Коркіну і не став займатися теорією чисел.

А ви, вельмишановний NN, стали займатися теорією чисел і прославилися на весь світ.

Не знаю, чи правдива ця історія; адже про Олексія Миколайовича Крилова розповідають багато. Але якщо вона вірна, то слід визнати, що знаменитий кораблебудівник помилився. Зараз методи і результати теорії чисел стали застосовуватися в таких практично важливих речах, як створення завадостійких кодів, при вивченні шифрів, при дослідженнях деяких питань теорії ймовірностей, при наближеному обчисленні інтегралів і т. д. та й взагалі, досить ризиковано пророкувати, наскільки важливими для практики виявляться ті чи інші дослідження. Ще сто років тому роботи з математичної логіки здавалися найбільш відірваними від яких би то не було практичних додатків. А тепер ці роботи лягли в основу інформатики і програмування, теорії автоматів і багатьох інших суто технічних дисциплін.

Але не тільки в практичній значущості робіт з теорії чисел суть справи. При вирішенні цих іноді дійсно далеких від практики питань відточується математична техніка, розробляються нові методи, які потім знаходять застосування в зовсім інших дослідженнях. Наприклад, методи, використані в кінці XIX століття Адамаром та Балі-Пуссеном для дослідження розподілу простих чисел, пізніше лягли в основу теорії цілих функцій комплексної змінної, яка має ряд найважливіших практичних додатків (скажімо, у квантовій механіці). Тому математики завжди проявляють інтерес до «непіскорених фортець».

У 1900 році на Другому міжнародному математичному конгресі в Парижі один з найбільших математиків XX століття, Д. Гільберт, виступив з доповіддю про видатні математичні проблеми. Він поставив у ньому 23 проблеми, вирішення яких повинно було супроводжуватися істотними просуваннями в тих чи інших областях математики. Більшість цих проблем вже вирішено, причому найчастіше їх рішення супроводжувалося побудовою абсолютно нової математичної теорії.

Так, у 1934 році математик А. О. Гельфонд вирішив сьому проблему Гільберта, показавши, що якщо а — алгебраїчне число, відмінне від 0 та 1, а Р — ірраціональне алгебраїчне число, аР не є алгебраїчним числом, тобто не може задовольняти ніякому алгебраїстичному рівнянню з цілими коефіцієнтами.

Звідки виникають нові математичні проблеми? Частина з них з’являється всередині самої математики. Але особливо багато невирішених завдань встає на кордонах математики і прикладних дисциплін. Часто фізику, механіку, інженеру вдається отримати рішення стоячої перед ним проблеми з допомогою сміливої гіпотези і несуворих методів. Це рішення дає результати, близькі до отриманих експериментально, але дослідник не відчуває себе повністю задоволеним; занадто необґрунтовані застосовані методи.

Таких прикладів багато в аеродинаміці, квантовій електродинаміці, в інших галузях науки. Наприклад, близько ста років тому відомий вчений Л. Прандтль прийшов до висновку, що між рухомим тілом і навколишнім газом існує тонкий прикордонний шар, що володіє особливими властивостями. Зараз з пограничним шаром мають справу всі конструктори літаків і ракет. Розпечений до 10 000°С прикордонний шар спостерігали льотчики-космонавти при поверненні корабля в атмосферу. Число робіт, присвячених прикордонному шару, досягає декількох тисяч. Але досі нікому не вдалося вивести існування прикордонного шару з рівняння руху в’язкої рідини (або газу). Ці рівняння дуже складні, надто великі математичні труднощі їх дослідження.

Багато десятиліть фізики користуються при розрахунках так званою теорією збурень, яка дозволяє розкласти дослідження того чи іншого явища на порівняно просту основну частину і підрахунок поправок, викликаних тими чи іншими ускладнюючими обставинами. Точність отриманих результатів дуже велика, інколи вона перевищує досягнуту точність експерименту. Але математики вміють обґрунтувати теорію збурень лише у вузькому класі випадків, абсолютно недостатню для потреб фізики. Не даремно один відомий математик сказав; «Книга з квантової механіки — це чудовий збірник задач з функціонального аналізу. Тільки завдання в цьому збірнику сформульовані не зовсім звичайно — словами «тому», «звідси випливає», «як легко бачити» і т. д.».

Дійсно, обґрунтування багатьох речей, які фізикам здаються очевидними, вимагає складних математичних досліджень. Втім, переконаність фізиків у правильності своїх висновків зрозуміле: вони можуть перевірити їх експериментально. Невирішені завдання є навіть у математичних питаннях небесної механіки — однієї з найстаріших областей математичного природознавства. Ще Ньютону вдалося до кінця вирішити задачу про рух двох тіл, що притягуються один до одного за законом всесвітнього тяжіння. Проте вже для трьох тіл остаточного вирішення такого завдання немає до сих пір, хоча цією проблемою займалися багато видатних математиків, астрономів та механіків. Ще гірша справа з «завданням багатьох тіл», наприклад, з вивченням руху планет Сонячної системи. Звичайно, використовуючи чисельні методи розрахунку, легко визначити положення планет на найближчі сто, двісті і навіть тисячу років. Але обчислення не можуть відповісти на питання, чи стійка Сонячна система. Адже теоретично взаємне тяжіння планет може настільки порушити правильність їх руху, що через трильйони років планети або впадуть на Сонце, або підуть в міжзоряний простір.

Для вивчення питань стійкості були створені різні математичні методи. Великий внесок у цю область науки внесли механік А. М. Ляпунов, французький А. Пуанкаре та багато інших. Однак основні труднощі в проблемі стійкості Сонячної системи їм не вдалося подолати: занадто великі були ускладнення, пов’язані з так званою проблемою малих знаменників. Справа в тому, що частоти рухів деяких великих планет майже однакові. А адже чим менше знаменник, тим більше відповідний доданок, тим більше обурення вносять ці планети у взаємний рух.

Незважаючи на тривалі зусилля багатьох математиків, не вдалося впоратися з труднощами, пов’язаними з проблемою малих знаменників. Лише порівняно недавно німецькому вченому К. Зігелго вдалося отримати значні результати в цьому питанні.

Автор: Н. Віленкін.