Парадокси математики
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Математика настільки ж природна, як мова, ремесло, музика або вміння людини обробляти землю. (Г. Штейнгауз).
Математика. Непосвячені зазвичай помічають розлогі дерева математичних теорій і дозрілі плоди – доведені твердження. Математиків дуже турбують коріння «древа математичних знань». Адже фундаментальна частина математики побудована зараз на теоретико-множинній основі, в якій виявлені парадокси. Один з цих парадоксів його «автор», Бертран Рассел, часто викладав в такій популярній формі: перукар голить усіх тих і тільки тих жителів свого села, що не голять себе самі. Парадоксально, але на питання: «Чи голить себе перукар?» – відповісти неможливо. Інакше кажучи, перукар не може належати ні безлічі жителів села, які голяться самі, ні безлічі тих, хто сам не голиться.
Тепер ясно, що за безневинним і навіть чимось привабливим словом «парадокс» криється протиріччя. В теорії множин містяться суперечності, стало бути, сама вона суперечлива. А як же ті гілки, які ростуть з неї? І які плоди можуть дати настільки суперечливі коріння?
Математики не користуються словами «коріння», вони кажуть «підстави». Підстави математики – це набір апріорно прийнятих припущень, з яких строго логічним шляхом зводиться вся математична будівля. Парадокси теорії множин знаменують собою кризу підстав математики.
Це не перша криза в історії найдавнішої з наук. І треба сказати, що всі попередні були плідними. Так було в III ст. до н. е., коли відкинули естетичні догми, привнесені в математику Піфагором. Так було і зовсім недавно – на початку XIX століття, коли зайшло питання про порятунок створеного Ньютоном і Лейбніцем математичного аналізу. Але приємний спогад про подолану кризу, а наше століття поки навіть не вказало шлях, йдучи по якому можна було б вийти з нової кризи. Всі спроби врятувати становище досі виявляються недостатньо радикальними.
Чи є взагалі способи виходу з кризи. Так. І не один, а два. Перший – це перегляд аксіоматики. Тільки в самому кінці позаминулого століття вчені в повній мірі оцінили, наскільки буває зручна відмова від деяких аксіом або заміна їх іншими! Ще років півтораста тому вважалося цілком правомірним, що в математичних аксіомах закостенілі наші уявлення про світ. Ось чому ніхто з математиків (крім великого Гаусса) так і не зрозумів Лобачевського та Бойяї, які замінили постулат Евкліда про паралельні його запереченням.
Другий напрямок пошуків – це наближення математики до потреб практики. Але буває, що серед творців теорії переважають противники такого зближення. «Я не для того займаюся математикою, щоб її застосовували до будівництва будинків», – сказав один з них.
Прихильникам таких поглядів прекрасно заперечив Джон фон Нейман: «При появі того чи іншого розділу математики стиль зазвичай буває класичним. Коли ж він знаходить ознаки переродження в бароко, це слід розцінювати як сигнал небезпеки… При настанні цього етапу єдиний метод лікування полягає в тому, щоб повернутися до джерела і спорскати більш-менш прямо емпіричні ідеї».
Два виходу з кризи підстав… Це означає, що той, хто входить в математику виявляється на роздоріжжі. Обидві дороги ведуть вперед, на славу науки. Але які ж вони різні! Одна поглиблюється в стрункі посадки філософії математики – тут навіть переплетення гілок підпорядковані логічним закономірностям. Інша з’єднує буйну гущавину математичних теорій з величезним містом з тисячами механізмів, а між містом і хащами – «нічийна земля», на якій комусь судилося виростити кущ, а комусь – цілий гай. Якщо молодий математик замислюється над шляхами розвитку своєї науки, то йому належить на самому початку професійної діяльності вибрати свою дорогу.
Правда, не завжди він усвідомлює, що стояв на роздоріжжі. Найбільших успіхів, як правило, досягає той, для кого заняття наукою – продовження його духовного життя, чиї наукові інтереси гармонійно випливають з властивостей його особистості.
Автор: А. Войскунский.