Перевірити алгебру гармонією – теорія нечітких множин

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Не було в останні десятиліття науки, яка не прагнула б до математичної строгості. Але ось сама цариця наук цієї найціннішої своєї якості поступово позбавляється. Один із доказів тому – новий її розділ…

Нечіткі множини

Відомо, що строга, класична математика добре (чи хоч якось) працювала лише до тих пір, поки з її допомогою описували поведінку досить простих систем. Скажімо, пластинок, що коливаються, магнітних полів або електронів. Але як тільки намагалися перейти до більш складних об’єктів, математика починала буксувати. Особливо важко доводилося, коли математику використовували для опису соціальних систем, в яких присутній людський фактор.

Як тільки “пахло людським духом”, алгебрі явно ставало недобре. Справді, в питаннях планування важко строго визначити, що таке допустимий план. При проектуванні складних об’єктів неможливо строго визначити множину об’єктів, з яких слід вибрати найкращий. Та й що таке найкращий? Теж неясно. Справді, якщо є множина: праска, кролик, книга з трьох об’єктів, то абсолютно ясно, що елемент «праска» цій множині належить, а елемент «конденсатор» — ні. До речі, це знають вже школярі другого класу, які навчаються математики за новими програмами. Але як бути з множиною «великі французькі письменники XIX століття»? Хто в неї входить? Але ж така множина вживана, і саме з подібними множинами доводиться найбільше мучитися тим, хто займається проблемами управління. Це і спонукало американського математика Л. Заде створити свою теорію нечітких множин.

Для опису нечіткої множини він пропонує ввести для кожного елемента множини ступінь його приналежності цій множині. Наприклад, для згаданої множини «великі французькі письменники XIX століття» (позначимо її буквою В) можна дати наступний опис: В=(1/Стендаль, 1/Флобер, 1/Бальзак, 0,9/Гюго, 0,8/Мопассан, 0,7/Меріме, 0,6/Мюссе, 0,6/Жорж Санд, 0,6/Золя, 0,6/Франс, 0,5/Гонкур, 0,5/Доде). Тут над косою рискою перед кожним елементом множини показана ступінь його приналежності множині.

Зрозуміло, всі цифри — чисто умовні, вони враховують головним чином не велич письменників, а ступінь їх приналежності до XIX століття. Подібним же шляхом, але вже з введенням інтегралів, неважко описати такі поширені на практиці нечіткі множини, як багатьох «молодих людей», «красивих жінок», «хороших керівників», «талановитих вчених», такі нечіткі поняття, як «багато», «мало», «трохи», «кілька».

…До речі, що таке «кілька»? Це три або вісім? Л. Заде пропонує вважати, що «кілька» — це (0,5/3, 0,8/4, 1/5, 1/6, 0,8/7, 0,5/8). Інакше кажучи, на його думку, «кілька» — це, швидше за все, «п’ять» чи «шість», з трохи меншою достовірністю — «чотири» або «сім», з ще меншою — «три» або «вісім».

В рамках теорії нечітких множин визначені такі розпливчасті поняття, як «дуже», «сильно», «злегка» і т. д. Скажімо, слово «дуже», як тільки ми його вжили перед яким-небудь членом множини, зводить ступінь приналежності до неї в квадрат. Наприклад, якщо змінна «якість» належить множині «хороше» зі ступенем 0,5, то безлічі «дуже гарне» воно буде належати вже зі ступенем 0,5²=0,25. А, скажімо, Меріме належатиме до безлічі «найбільші (в сенсі «дуже великі») французькі письменники XIX століття вже зі ступенем 0,7² = 0,49, в той час як Бальзак — як і раніше, одиницею.

Л. Заде ввів ще ряд корисних понять і операцій, що допомагають поводитися з нечіткими множинами. І навіть будувати з їх допомогою «нечіткі алгоритми». Як вам сподобається, наприклад, така рекомендація: «Якщо щільність забудови велика, то слід трохи розтягнути множину допустимих варіантів, або збільшити відстань між будівлями або перейти до іншої схеми»? Фахівець, пройнятий ідеями суворої математики, назвав би таку рекомендацію «неалгоритмічною» і запросив би додаткових роз’яснень. А в рамках теорії нечітких множин така фраза цілком прийнятна і може служити основою для машинної програми — ось що найголовніше!

Все частіше лунають голоси, що математика занадто жорстка, статична, імперативна. Воістину, перефразовуючи Сальєрі, настав час повіряти алгебру гармонією, інакше кажучи, розширити засоби алгебри так, щоб в них стали вміщатися категорії, якими ми оперуємо в житті. Теорія нечітких множин Заде тим і хороша, що дозволяє зробити важливий крок у бік «пом’якшення» математичних понять. Адже далі з’являється можливість поєднувати одну нечіткість з іншою, створюючи тим самим широку палітру нюансів. Наприклад, ми можемо тепер записати математичною мовою поняття “три великих французьких письменника XIX століття”. Це будуть, природно, Стендаль, Флобер і Бальзак: згадайте, що у формулі чисельники дробів, знаменниками яких є ці три прізвища, що дорівнюють одиниці, в той час як чисельники всіх інших дробів менше одиниці.

Гірше, правда, якщо нам потрібна множина «два великих французьких письменника XIX століття». Заде пропонує в цьому випадку зробити випадковий вибір двох з трьох згаданих письменників за допомогою датчика випадкових чисел (машинний аналог підкидання монети). Але зате неважко, скажімо, поєднуючи дві введені множини, утворити множину «кілька великих французьких письменників XIX століття» — для цього є майже невразливі для критики правила. (Мова йде, зрозуміло, про критику математичну, бо літературознавці подібний підхід начисто і справедливо відкинуть).

Автор: М. Рейтман.