Походження чисел
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Загалом вважається, що деякі види тварин здатні помічати різницю в кількості, скажімо, завважують брак курчати у виводку, розрізняють більшу та меншу купи смачного корму. Немовля так само засвідчує кількісне сприйняття звичних йому предметів ще задовго до того, як навчиться говорити. Розвиток мови та використання слів розширює і рафінує це кількісне сприйняття настільки, що в деяких культурах понавигадували числових назв без ліку, стільки, як зірок у небі чи піску на морському узбережжі, ба навіть спробували обчислити нескінченність.
РАХУВАТИ, ОПОВІДАТИ
Притаманна мові здатність називати числа є вочевидь однією з найдавніших її особливостей. Зрештою “нумерація” — не що інше, як намагання організувати, впорядкувати реальний світ та наші уявлення про нього. І це засвідчує ідіоматика різних мов.
У деяких європейських мовах, приміром, слова “count” (лічити) і “tell” (розповідати) мають надзвичайно подібні, ба навіть однакові відповідники: “compter” — “raconter” у французькій, “contare” — “raccontare” в італійській, “contar” — “contar” в іспанській та португальській і “zahlen” — “erzдhlen” у німецькій. У сучасній англійській слово “tale” (оповідь) тотожне слову “story” (розповідь, історія), проте слово “teller” означає як “касира у банку”, так і “оповідача історій”. Тож не дивно, що таку подібність знаходимо вже в давніх індоєвропейських мовах. У санскриті термін “санкхіа” (число) первісно означав спосіб розповіді. Грецьке “logos” — “лічба”, а також “слово”, “мова” — запозичило ці два значення від первісного значення дієслова “lego” — “збирати, вибирати, складати”, а отже, й “вираховувати, лічити,перераховувати”, а згодом — “розповідати” чи “говорити”. Так само грецьке слово “arithmos” означає “число” в арифметичному сенсі, а також “регулювати”, “давати лад” чи “розміщати”. З цієї двозначності розвинулося латинське “нумерус” зі своїми похідними. Прикметник “нумерозус” означає як “численний”, так і “гармонійний”.
Подібні ситуації спостерігаються у двох семітських мовах, арабській та давньоєврейській. Арабське слово “гісаб” (лічба) постало від трилітерного кореня г.с.б. Дієслово “гасаба” (лічити) при заміні однієї голосної стає “гасіба”, тобто “уявляти”, “вважати”. У такий самий спосіб від одного трилітерного кореня с.п.р. виникло давньоєврейське “сетер” (книжка); “тіспар” (число), — та “сіппур” (розповідь).
В той час як здатність до числення тієї чи іншої мови може розвиватись, назви чисел, якими вона користується, належать до раннього періоду історії мови і залишаються впродовж віків напрочуд стабільними. Вони постійно нагадують про споконвічні намагання людей дати назви розмаїтостям реального світу та час від часу являють нам відблиск того процесу, що передував називанню різних числових порядків чи лежав у його основі.
Так, на прикладі цифри 9 можна проілюструвати переваги, — а також і труднощі, —історичного аналізу. У багатьох індоєвропейських мовах слово на означення цієї цифри напрочуд близько збігається із прикметником, похідним від “новизна”: у латинській “novem — novus”, у французькій “neuf — neuf, в англійській “nine — new”, у німецькій “neun — neu”, у санскриті “nava — novas”. Якщо сполучити висліди лінгвіста та історика, напрошується таке пояснення цього явища: цифра 9 на світанку числення сприймалась як “новий” рівень після цифри 8. Слово на означення 8 (“octo”, “huit”, “eight”, “acht”, “ashta” у п’яти вищеназваних мовах) могло виникнути своєю чергою від граматичної двоїни слова 4 (“guattuor”, “guatre” “four” “vier”,”tchatvara”) y світлі багатьох інших мовних та культурних явищ виявляється, що цифра 4 справді репрезентує новий етап у нашому розумінні чисел.
Без особливих потуг ми можемо розрізняти один, два, три чи чотири предмети, навіть не лічачи їх, але від п’яти і далі ми мусимо лічити предмети, перш ніж сказати, скільки їх. Гіпотеза ця надто приваблива, хоча в такій сфері знань неможливо стати догматиком. Якщо ми простежимо наші лінгвістичні висліди трохи далі, то знайдемо нові аргументи на її підтримку. У більшості семітських мов на означення цифри 9 використано споріднені слова: в аккадській – “tishu”, в давньоєврейській — “tesha”, в арабській — “tis’un”. Арабська граматика засвідчує, що слово “tis’un” походить від дієслівного кореня wasa’a, що перекладається: “бути чи стати широким”. Отже, можливо, поняття “newness” (новизна) індоєвропейських мов повторює себе і в мовах семітських.
УПОРЯДКУВАТИ, СКЛАСТИ ТА ПОРАХУВАТИ
Кожна система чисел, навіть найдавніша, конче має справу з невеликою кількістю символів – слова, піктограми чи графічні знаки — утворених на двох засадах. На засаді порядку або композиції, що відрізняє перший символ (один) від другого (два), а в разі потреби і від третього (три) і т. ін., і на засадах групування або сполучення, що розриває ряд несхожих індивідуальних символів, вводячи символ вищої порядкової величини, який з’єднавшись із попереднім символом, у такий спосіб продовжує систему. Отже, “один, два, три … десять, десять — один, десять — два…, десять — десять або сто, сто і один, сто і два…” було названо системою з основою 10 або десятковою системою.
Були або використовуються досі й інші системи: з основою два (бінарна система), п’ять (квінарна) двадцять (двадцяткова) і шістдесят (щістдесяткова). Вважають, що вибір системи числення з основами 5, 10 та 20 зумовлений їхнім зв’язком із характерними властивостями людського тіла, і сліди цього залишаються в деяких системах усного числення. В апі, розмовній новоєврейській мові, слово “luna” означає “рука”, а також число “5”, “lua” — число “2”, а “10” звичайно — “lualuna”, буквально, “дві руки”. Розмаїття правил формування назв чисел засвідчує рівень людської культури та мовні відмінності.
Та все ж мусимо признатися, що ми надто мало знаємо про методи лічби за прадавніх часів. Звичайно, числа, що вже були пойменовані, існували просто символічно. До того ж в усній нумерації використовувалися жести рук (лічба на пальцях) чи фізичні засоби: рахівниця, піщаний стіл, мотузка з вузлами. Історики вважають, що така репрезентативна нумерація в деяких випадках стала провісником певних форм писемної нумерації.
СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ, ПИСЕМНІ ТА АБЕТКИ
З виникненням писемності фантастично зросли можливості для числення. Писемні системи числення, нумерації, можна поділити на два основні типи: аддитивна нумерація, коли число утворюється шляхом додавання цифр, що стоять поряд (такою є давня єгипетська ієрогліфічна нумерація та римська система цифр), і позиційна нумерація, в якій значення цифри визначається місцем, де вона стоїть. Таким чином 1034 (написане зліва направо “один — нуль — три — чотири”) зображує одну (тисячу) плюс нуль (сотні) плюс три (десятки) плюс чотири (одиниці). Система ця, що потребує вживання нуля (порожнє місце чи графічний знак) склалася історично лише в чотирьох цивілізаціях із писемними мовами: в Месопотамії, Китаї, стародавній Індії та в цивілізації майя Центральної Америки.
Хоча письмо найперше з’явилося в Шумері, формуючись упродовж четвертого тисячоріччя до нашої ери, абеткові шрифти, цілком ймовірно, були винайдені в середині другого. Найбільш знаний та найпоширеніший був шрифт, що розвинувся завдяки торгівлі та мореплавству фінікійців, які говорили семітською мовою. Шрифт запозичили чи адаптували інші мови цієї самої групи (давньоєврейська, арамейська, а згодом арабська), а також і мови менш споріднені з семітською. Фінікійська абетка розшифрувала тільки приголосні, яких налічується 22. Греки згодом долучили до неї голосні. Латинські абетки походять безпосередньо від грецької, зберігаючи незмінним порядок фінікійської.
Панування цього екстраординарного знаряддя привело до розвитку ряду систем числення, включаючи й давньоєвропейську систему, так звану “вчену” грецьку систему числення, арабську і відому під назвою “хісаб аль-джумал” або “хісаб абджаді”.
Це були абеткові аддитивні нумерації, в основі яких лежав надзвичайно простий принцип: користувач мав знати порядок та числове значення літер абетки. Перші дев’ять літер відповідали дев’ятьом цифрам (1,2,3,…,9), наступні дев’ять — дев’ятьом десяткам (10,20,30…90). Решта літер використовувалась для позначення сотень. Таким чином абеткові числа записуються у низхідному порядку числових значень їхніх складових літер відповідно до шрифту.
Оскільки абетка мала невелику кількість різних знаків (22 у давньоєврейській, 28 в арабській і 27 у грецькій), то попервах дозволяла записати числа лише нижче 10000. І хоч які прийоми застосовували для її вдосконалення, одначе записувати великі числа стало складно. Тому дослідники, особливо астрономи, мусили запозичити досконалішу шістдесяткову вавилонську позиційну систему числення, пристосувавши її до свого шрифту. Для такої нумерації потрібно було 59 різних символів, а також знак для позначення нуля. Ці “шістдесяткові цифри” часто виражалися в абетковій нумерації, поєднуючи переваги позиційної системи числення з перевагами абеткової системи.
СПАДЩИНА ІНДІЇ
Десяткова позиційна система числення з нулем, що виникла в Індії, поступово витісняла інші писемні системи і тепер фактично є загальновживаною. І все ж вона поширювалась вельми непросто. Китай, наприклад, сам винайшов десяткову позиційну систему значно раніше і незалежно від індійської, проте вона не користувалась нулем. Можна навіть припустити, що китайці створили систему, подібну до індійської позиційної системи, на основі власної. Проте запровадження нуля в китайську систему умовних позначень, здається, має індійське коріння.
Сьогодні учні на Заході вчаться лічити на “арабських цифрах”: але, що, власне, вони, ті цифри, собою становлять? Свої знання про основи індійської арифметики ми повинні завдячувати арабським ученим восьмого сторіччя. Біля 774 року нашої ери один індійський вчений, проїжджаючи через Багдад, ознайомився із книжкою з астрономії, написаною санскритом, де користувалися запозиченими принципами “Індійської арифметики” (хісаб—аль—хінд), а арабський переклад цієї книжки, зроблений аль-Фаззарі, явив собою перший етап розвитку “Індійської арифметики” в мусульмано-арабській імперії. Арабським словом “сіфр” (порожнеча) перекладено санскритське “сюнія”. Це слою в дев’ятому сторіччі й вибрали для впровадження зеро (нуля). “Сіфр” дало початок латинському “ціфра” у тринадцятому сторіччі, французькому “шіффре” в чотирнадцятому сторіччі та німецькому “ціффер” у п’ятнадцятому сторіччі. Від нього також пішло англійське “сайф”. Паралельно з цим зі слова “сіфр” розвинулося латинське “ціферум” у тринадцятому сторіччі, італійське “зефіро-зеверо” в п’ятнадцятому і насамкінець слово “зеро”. Західна термінологія, безперечно, є індо-арабською.
А втім, ми повинні бачити різницю між поширенням знань про основи індійскої нумерації та розвитком графічних знаків, використовуваних для її позначення. Зв’язок між писемними формами, запозиченими з Індії, і формами, що з’явилися в арабському світі після дев’ятого сторіччя, неясні. Навіть більше, є різниця між арабськими цифрами на Сході та на Заході. Оскільки індійська система числення поширювалася латиною на середньовічному Заході у дванадцятому сторіччі, цифри, що ми їх називаємо “індо-арабськими”, поширювалися через посередників, які не всі були ідентифіковані, іноді запозичуючи в Іспанії давніші римські або вестготські форми.
Автор: Тоні Леві.