Розповідь про незвичайні обчислення

Наука про властивості цілих чисел, теорія чисел, або вища арифметика, виникла порівняно недавно. Однак багато завдань цієї науки були висунуті вже математиками давнини. Формулювання задач теорії чисел іноді настільки прості, що зрозумілі бувають школярам. Для вирішення цих завдань нерідко доводиться користуватися дуже складним і тонким математичним апаратом і затрачати багато праці. Один з найвидатніших математиків К. Гаусс своє ставлення до теорії чисел висловив у таких словах: «Якщо математика – цариця наук, то арифметика цариця математики».

ПРО НАЙБІЛЬШЕ ПРОСТЕ ЧИСЛО

Сукупність цілих чисел, розташованих у порядку зростання 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… називається натуральним рядом чисел. 1 є найменше натуральне число. Кожному, напевно, зрозуміло, що не існує «найбільшого числа», оскільки до такого числа можна додати одиницю і отримати більше число.

Серед цілих чисел можна виявити числа, які діляться тільки на одиницю і на самих себе. Такі числа називаються простими. Одиниці не зараховують до простих чисел. Всі ж інші числа володіють більш, ніж двома дільниками. Їх називають складовими або складними. Серед чисел першої сотні є 25 простих чисел. Ось вони: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. У десятій сотні простих чисел виявляється 14, а в шестидесятій – лише 7. Може здатися, що в натуральному ряді прості числа зустрічаються лише до певного місця, а потім йдуть тільки складні. Однак таке припущення виявляється невірним. Вже в III столітті до нашої ери грецький математик Евклід довів, що ряд простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11… нескінченний.

Таким чином, не існує найбільшого і серед простих чисел. Можна говорити лише про найбільше просте число, відоме людству в той чи інший період історії. Таке число заради стислості ми і будемо називати «найбільшим простим числом».

Знаменитий французький математик П’єр Ферма (1601-1665), зауваживши, що числа: 2+1 =3, 2²+1=5, 2⁶+1= 17, 2⁸+1=257, 2¹⁸+1=65 537 суть прості, прийшов до переконання, що, продовжуючи цей ряд, ми будемо отримувати виключно прості числа. Числа ці настільки швидко ростуть, що для вивчення вже наступного числа ряду 2⁵² +1 = 4 294 967 297 потрібні дуже великі обчислення. Це число було розглянуто в Петербурзі найбільшим математиком 18 століття Л. Ейлером. Припущення Ферма виявилося невірним. Число 2⁵² +1, як показав Ейлер, ділиться на 641. Ферма висловив і іншу здогадку – про те, 2³¹—1 =2 147 483 647 є просте число. Це припущення, як довів Ейлер, було правильним.

Число Ейлера-Ферма довго залишалося найбільшим відомим простим числом. У середині 19-го століття великий російський математик П. Л. Чебишев в своїй докторській дисертації писав про нього: «Це є саме велике просте число досі відоме». Як було вже сказано, Ейлер спростував припущення Ферма про те, що всі числа: 2+1, 2²+1, 2⁶+1, 2⁸+1, 2¹⁸+1 і т. д. є простими. Він довів, що 2⁸²+1 є складне число. Подальші приклади, які спростовують гіпотезу Ферма, були вказані І. М. Первушиним. У 1878 році цей математик-аматор представив в Петербурзьку Академію наук докази складності чисел: 2¹⁷⁹⁸+1 та 2^8358008+1. Перше число ділиться на 114 689, а друге – на 167 772 161. Число 28358008 + 1 фантастично велике: воно містить 2525223 цифри. Щоб надрукувати це число потрібний був би рядок, довжиною в 5 кілометрів, або книга в 1000 сторінок.

У ГОНИТВІ ЗА ДЕСЯТКОВИМ ЗНАКОМ

Виключно важливу роль в математиці і практичній діяльності людей грає число, що представляє відношення довжини кола до діаметру. Л. Ейлер (1707-1783) позначав це число грецькою буквою пі. Авторитет Ейлера був настільки великий, що незабаром це позначення було прийнято усіма. Число має вельми поважну історію. Наведемо тут кілька цікавих і повчальних фактів.

З папірусу Ринда (підручника математики древніх єгиптян) ми дізнаємося, що пі приймалося рівним = 3,1604… Насправді ж пі = 3,1415926 … Таким чином, приблизно за дві тисячі років до нашої ери єгиптяни володіли наближеним значенням пі, що володіє пристойною точністю. Мабуть, воно було знайдене дослідним шляхом.

Зауважимо, що в Біблії і Талмуді пі помилково приймалося рівним 3. У Талмуді сказано: «Те, що має три долоні в окружності, має одну долоню ширини».

Перша серйозна спроба визначення числа пі, в основі якої вже лежав науковий метод, належить найбільшому генію давнини Архімеду (287-212 р. до нашої ери). У своєму творі «Вимірювання кола» Архімед встановив, що пі міститься між числами 3,14084 … і 3,14285… Тісніші кордони для пі були дані лише в 13 столітті відомим італійським математиком Леонардо Пізанським. Останній показав, що пі міститься між числами 3,1410… і 3,1427…

У 1596 році з’явився твір професора Лейденського університету Лудольфа ван-Цейла, в якому містилися обчислення пі з 20 десятковими знаками. Через 20 років, в іншому творі Лудольфа пі було дано вже з 32 знаками.

Бажаючи уточнити природу цього числа, математики знову і знову зверталися до його обчислення. Французький математик Ланьї в 1719 році знайшов 127 знаків. А в 1766 році берлінський вчений Ламберт, спираючись на деякі відкриття Ейлера, зумів довести, що пі виражається нескінченним десятковим неперіодичним дробом (згодом цей доказ був покращений французьким математиком Лежандром).

Здавалося б, після такого важливого відкриття пошуки подальших знаків цього числа повинні були припинитися. Однак у 19 столітті знайшлися дослідники, які, спираючись на нові методи, вирахували пі з 200, 500 і, нарешті, з 707 десятковими знаками. Останнє обчислення було виконано в 1873 році англійцем Шенксом. Ніяка людська уява не в змозі уявити собі точність, відповідну сімсот і сьомого десяткових знаків. Результат Шенкса отримав славу рекорду обчислювальної техніки 19 століття. Однак, в 1946 році з’ясувалося, що із знаків, знайдених Шенксом, вірні лише перші 530. У 1948 році було отримано 808 знаків числа пі.

ГРАНДІОЗНІ ОБЧИСЛЕННЯ ГАУССА

Вам, звичайно, відомо, що всякий звичайний дріб може бути звернений в десятковий за допомогою ділення чисельника на знаменник. В одних випадках процес ділення закінчується на якомусь кроці – виходить кінцевий десятковий дріб. В інших випадках цей процес ніколи не закінчиться: звичайний дріб звертається в нескінченний десятковий дріб. Одержуваний тут нескінченний десятковий дріб завжди виявляється періодичним, тобто в його складі є одна або декілька цифр, які постійно повторюються в одному і тому ж порядку. Сукупність повторюваних цифр називається періодом дробу. Чи можна, не розгортаючи дріб в десятковий, передбачати скільки цифр буде в періоді?

Відповідь на це питання і на ряд інших питань, пов’язаних з теорією ділення звичайних дробів на десяткові, дав найбільший німецький вчений Карл Фрідріх Гаус (1777- 1855) у своїх «Арифметичних дослідженнях». В одній з таблиць складених Гауссом, містяться періоди дробів, знаменниками яких є прості числа, що не перевищують 1000, а числівниками – одиниця або одиниця з нулями. Великий Гаусс терпляче розгортав один дріб за іншим. Наскільки копіткою і трудомісткою була ця робота, можна судити хоча б по одному прикладу: для дробу 100/983 він обчислив період, що складається з … 982 цифр!

Автор: І. Г. Мельников.