Світ чотирьох вимірювань

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Ми живемо в тривимірному світі. Саме тому нам важко уявити собі світ іншого виміру. Порівняно легко це зробити тільки для одновимірного і двовимірного простору. Були навіть спроби зобразити двовимірний світ в художній літературі. Був такий роман «Епізод під Флетленде», написаний викладачем математики Ч. Хінтоном. Свій Флетленд – плоску країну – Хінтон населив людьми двох вимірів. Це дозволило йому образно розповісти про властивості двовимірного простору. Люди двох вимірів – фантазія Хінтона. Але якби вони існували в дійсності, їм важко було б уявити собі тривимірний світ: адже «двовимірні» Хінтона позбавлені досвідченого відчуття третьої координати. Так само як «плоским людям» важко уявити тривимірний світ, так нам, жителям цього тривимірного світу, важко уявити собі світ чотирьох вимірів. Але все ж давайте спробуємо.

Як відомо, положення точки на прямій задається одним числом (однією координатою), на площині – двома, в просторі – трьома координатами: абсцисою, ординатою і аплікатою. Тому математики називають пряму простором одного виміру площини – двовимірним простором, а навколишній світ – простором трьох вимірів.

Так як одне число задає точку в деякому одновимірному просторі, пара чисел – в двовимірному, а трійка чисел – в тривимірному просторі, то за аналогією можна вважати, що сукупність чотирьох чисел визначає точку в чотиривимірному просторі, п’яти – у п’ятимірному просторі і т. д.

Поняття про чотиривимірний світ можна ввести ще інакше. Пряму можна мислити як одномірний простір, утворений рухомою точкою. Площина – це двовимірний простір, який утворюється при русі прямої лінії і напрямку, перпендикулярному цій прямій лінії. Простір трьох вимірів виходить, якщо рухати площину в напрямку, перпендикулярному площині. Отже, чотирьохмірний простір можна уявляти собі як деякий геометричний об’єкт, який виникає при русі тривимірного простору в якомусь невідомому нам напрямку, «перпендикулярному» тривимірного простору. Вивчати чотиривимірний простір можна різними способами. Розповімо спочатку, як можна встановлювати властивості простору чотирьох вимірювань алгебраїчними методами.

Як відомо, рівняння, що зв’язує дві змінні величини, задає лінію на площині. Наприклад, запис x²+y²=25 означає коло з центром на початку координат і радіусом, рівним п’яти. Співвідношення, що зв’язує три змінні величини, визначає поверхню в тривимірному просторі, x²+y²+z²=25 – це рівняння сфери в просторі трьох вимірів. За аналогією можна вважати, що рівняння x²+y²+z²+u²=25 задає сферу в чотиривимірному просторі. Радіус цієї сфери теж дорівнює п’яти, а центр знаходиться на початку: координат. Вивчаючи рівняння з чотирма змінними, ми можемо робити висновки про властивості сфери чотирьох вимірів, аналогічно тому, як, вивчаючи рівняння x²+y²+z²=25 ми робимо висновки про властивості звичайної сфери.

Спосіб вивчення чотиривимірного світу за допомогою алгебри в якійсь мірі непрямий. Можна вказати безпосередньо геометричні методи вивчення простору чотирьох вимірів.

Уявіть собі, що ви дивитеся згори на скляний куб, що стоїть на столі. Цей малюнок – плоска фігура. Вона отримана в такий спосіб: намальований великий квадрат, потім в ньому – менший, і, нарешті, вершини квадратів з’єднані відрізками прямих ліній.

Отже, користуючись квадратом, ми можемо намалювати плоску фігуру і з її допомогою вивчати тіло трьох вимірів, Наприклад, дивлячись на малюнок, ми можемо сказати, що тривимірний куб має шість граней, 8 вершин, 12 ребер і т. д.

Точно так же, як був намальований менший квадрат в більшому, ми можемо помістити менший куб в більшому і з’єднати ребра кубів площинами, як раніше з’єднували відрізками вершини квадратів. За аналогією ми можемо розглядати фігуру, як тривимірне зображення чотиривимірного куба. За допомогою малюнка ми можемо зробити висновок, що чотиривимірний куб обмежений вісьмома тривимірними кубами і має 16 вершин, 24 грані і 32 ребра.

Інший геометричний метод вивчення чотиривимірного простору заснований на методі розгортки. Уявіть собі, що контур, що обмежує квадрат, зроблений з дроту. Тоді, розрізавши дріт і розпрямивши його, ми отримаємо відрізок. Так від двовимірної фігури можна перейти до одновимірної, від квадрата – до відрізка.

На аркуші паперу намальована окружність. Поставте олівець вістрям на аркуш паперу поза колом і спробуйте доторкнутися грифелем до центру кола, не відриваючи олівець від паперу і не перетинаючи коло. Зробити це неможливо. Щоб торкнутися центру кола, не перетинаючи його, доведеться відірвати олівець від паперу – вивести його в третій вимір.

Подібно до того, як в просторі трьох вимірів точка може увійти в коло і вийти з нього, не торкаючись до окружності, так в просторі чотирьох вимірів тіло може увійти всередину сфери або вийти з неї, не пошкоджуючи поверхні сфери. Отже, все закрите, всякі внутрішні області в нашому тривимірному світі відкриті для огляду або дії з четвертого виміру. У чотиривимірному просторі гумовий м’ячик може бути без розривів вивернутий навиворіт, а два кільця ланцюга роз’єднані без порушення їх цілісності.

Або інший приклад. У тривимірному просторі рухається матеріальна точка. Зрозуміло, що в кожен даний момент часу t точка має певні координати х, y, z. Ці четвірки чисел (х, у, z, t) можна розглядати як координати деякої точки в просторі чотирьох вимірів. Саме так і чинять фізики. Особливо тісний зв’язок між простором і часом встановлює теорія відносності, яка розглядає рух тіл як переміщення їх в просторово-часовому чотиривимірному світі.

І останній приклад. Відправним пунктом для побудови класичної статистичної фізики служать уявлення про фазовий простір – простір всіх узагальнених координат і всіх узагальнених імпульсів даної системи. Сукупність значень всіх координат і імпульсів для деякого моменту часу повністю визначає стан ( «фазу») системи. Зміна стану системи з часом можна представляти як рух точки по деякій лінії у фазовому просторі – фазової траєкторії. Якщо досліджувана система залежить тільки від двох координат, то фазовий простір – простір чотирьох вимірів, так як будь-яка точка в ньому задається чотирма числами: двома координатами і двома імпульсами.

Вивчення чотиривимірного світу збагачує геометрію. Так, наприклад, окружність, що розглядається тільки як сукупність точок (одномірна крива), має дуже мало особливостей. Те ж коло, розглянуте в площині, має центр, радіуси, дотичні і т. д., а в тривимірному просторі воно вже вступає в геометричні відносини з іншими фігурами: сферою, конусом, циліндром.

Відомо, що фізичний процес можна описати тим чи іншим математичним рівнянням. Якщо в таке рівняння входять чотири змінні величини, то, вивчаючи властивості цього рівняння, ми тим самим будемо вивчати властивості чотиривимірного світу. Навпаки, вивчаючи властивості чотиривимірного простору, ми дізнаємося особливості рівнянь чотирьох змінних і на їх основі можемо робити висновки про характер тих чи інших фізичних процесів.

Таким чином, вивчення багатовимірних просторів розвиває геометричні уявлення, а також знаходить своє практичне застосування при дослідженні різних фізичних процесів з багатьма параметрами.

Автор: В. Лишевський.