Якщо загадку скрутити в спіраль
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Рідкісний випадок — відкриття, зроблене від нудьги. А було так. Один з найбільших американських математиків С. Улам потрапив на лекцію, яка для нього виявилася нецікавою. Взяти і вийти — незручно. Щоб вбити час, вчений на папері малював, що прийде в голову. Бездумно він зробив сітку з рядів вертикальних і горизонтальних ліній. Квадратики викликали було у нього думку скласти який-небудь шаховий етюд. Але він тут же відмовився від цієї затії. Його рука ніби сама взялася викреслювати спіраль, починала в центрі сітки. Без будь-якої цілеспрямованості математик почав нумерувати перетини спіралі з лініями сітки. Потім, теж без будь-якої, здавалося б, задньої думки став обводити кружечками всі прості числа, які йому траплялися вздовж спіралі. І раптом вченому кинувся в очі вражаючий факт: прості числа його спіралі виявляли схильність вибудовуватися в шеренги.
— Що тут вражаючого? — можете запитати ви.
Почувши таке запитання, будь-який математик подивився б на вас з подивом. Адже прості числа (назва їх оманлива!) — одна з найбільш складних і неясних областей математики. Деякі пов’язані з ними проблеми доступні навіть розумінню дитини, інші ж настільки туманні, що найбільш потужні математичні уми людства досі безсилі перед ними. Основна складність в тому, що прості числа розташовані вздовж числового ряду довільно, без всяких начебто закономірностей.
Що таке прості числа
Задайтеся питанням: яке соте по порядку просте число? Єдиний спосіб знайти відповідь (якщо під руками немає таблиці простих чисел) — це почати складання її самому і довести, принаймні, до сотого номеру.
Для цього користуються нехитрим методом. Треба йти вздовж числового ряду і викреслювати всі складені числа. Швидше всього будуть зникати парні числа, потім ті, що діляться на 3, на 4 і так далі. Зрештою, залишаться лише такі, які без залишку діляться лише на одиницю і на самих себе. Їх-то і називають простими.
Зрозуміло, комп’ютер буде робити це набагато швидше людини. Однак і йому доведеться користуватися тим же самим методом. До речі, він запропонований близько двох тисячоліть тому олександрійським геометром і астрономом Эратосфеном і в його честь називається методом «эратосфенового решета». Адже він дозволяє як би відсіювати прості числа від складових.
Давайте придивимося до того, що залишається в «решеті». Зверніть увагу: серед чисел там нерідко трапляються так звані близнюки — пари чисел, різниця між якими дорівнює двом. Це, наприклад, 11 і 13, 71 і 73, 209267 і 209269, 1000000009649 і 1000000009651.
Неважко здогадатися про їх «родовід». Після видалення парних чисел у числовому ряду залишаються одні близнюки — різниця між сусідніми непарними числами завжди дорівнює 2. Подальше «просівання» усуває, як правило, одного, а то і обох «близнюків» пари, але деякі пари воно не зачіпає. Правда, чим далі йти по числовому ряду, тим рідше вони зустрічаються. Чи означає це, що після якої-небудь пари «близнюків» більше не трапиться? На жаль, ніхто цього ще не знає.
Але повернімося до уламовської спіралі. Те, що поблизу центру її прості числа шикуються в шеренги — це не так вже дивно. Адже всі вони непарні, крім двійки. Пронумеруйте квадрати шахової дошки по спіралі, почавши її в центрі, і ви виявите, що всі клітини з непарними номерами — одного кольору. Якщо ви візьмете 17 шашок (вони представлятимуть 17 простих чисел в ряду від 1 до 64) і розмістіть їх на 32 непарних клітинах, то побачите, що вони розташовуються по діагоналях.
Але з видаленням від центру спіралі щільність простих чисел падає. На перший погляд, шеренг тепер буде все менше і менше. Однак перший погляд часом підводить. Ось чому Улам вирішив встановити, як буде виглядати спіраль, вздовж якої лежать тисячі простих чисел.
Звичайно, у нього і в думках не було креслити таку спіраль самому. До послуг математика були електронні пристрої. І довжелезну таблицю простих чисел Уламу не потрібно було складати: є об’ємисті довідники. Найбільш відомий серед них довідник Лемера, випущений ще в 1914 році. Він налічує 664 580 простих чисел з числового ряду від 1 до 10 мільйонів. А в Обчислювальному Центрі Лос Аламос є магнітна стрічка, на якій значаться 90 мільйонів простих чисел. Правда, цей «довідник» можуть читати тільки машини. Однією з них, обчислювальному пристрою «Maniac», Улам і «підсунув» цю стрічку, доручивши розмістити їх по спіралі.
Дивно, але ці прямі лінії можна описати рівнянням параболи. Наприклад, послідовність чисел 5, 19, 41 і 71 описується виразом 4х2+10х+5, де х приймає значення 0, 1, 2, 3. Дуже цікаві речі виявляються, якщо почати спіраль не з одиниці, а з якого-небудь іншого простого числа. Скажімо, з 17.
Числа на головній діагоналі відповідають вираженню х2+х+17. Подібні формули математики називають генераторами простих чисел. До речі, ця формула була відома Леонарду Ейлеру. Вона генерує прості числа для всіх значень х від 0 до 15. Тобто, якщо ми продовжимо спіраль так, щоб вона зайняла весь квадрат 16X16, то одна з його діагоналей буде повністю засаджена простими числами.
Найбільш потужний із знайдених Ейлером генераторів простих чисел виражається формулою х2+41. Спіраль для нього треба викреслювати починаючи з числа 11. Вона генерує послідовність простих чисел, які цілком заповнять діагональ квадрата 40X40!
Ейлер знаходив ці формули простим підбором. Спіралі Улама — це вже якийсь крок до розуміння «пристрою» таких генераторів. Але багато чого тут залишається неясним. Ось лише деякі з питань, які виникають у математиків при розгляданні уламовських спіралей. Чи є серед них така, що містить пряму, яка складена з нескінченної безлічі простих чисел? Чи є різниця в середній щільності простих чисел вгорі і внизу спіралі, в правій і в лівій?
Не думайте, що інтерес математиків до простих чисел диктується просто допитливістю. Адже недарма магнітна стрічка з записом 90 мільйонів простих чисел перебувала у вчених Лос Аламоса — найбільшого атомного дослідницького центру США. До речі, сам Улам, в основному займався не абстрактною математикою, а прикладною. Досить сказати, що в свій час він висловив припущення, яке призвело його і Едварда Теллера до думки про можливість створити водневу бомбу.
Ще Евклід довів, що простих чисел нескінченна безліч. Доказ такий гарний, що його варто навести. Припустимо, існує найбільше число Р, за яким йдуть лише складені числа. Але якщо ми отримаємо 2Х3Х Х5Х7Х …ХР і додамо до нього одиницю, то результат теж буде простим числом. Справді: яке з чисел найменше Р його ділиш, завжди виявляється залишок одиниця. Отже, ми отримали просте число, яке набагато більше Р. З ним можна виконати ту ж процедуру, що і з числом Р. А результатом явиться ще більше просте число. Логіка підказує, що до найбільшого простого числа ніколи не доберешся.
Ми вже говорили, що по мірі руху вздовж числового ряду простих чисел стає все менше і менше. І все важче знаходити їх у величезних безоднях складених чисел.
Автор: Р. Макаревич.