Історія науки: від кроманьйонця до Кеплера, від Кеплера до наших днів

В наші дні все частіше лунають голоси про те, що ми стоїмо на порозі нової революції в науці або навіть перебуваємо в розпалі такої революції. Але чи бувають взагалі в науці перевороти, що змінюють все її єство? Виявляється, все-таки бувають. На мою думку, були, принаймні, два таких перевороти, і здається, що зараз починається третій. Кожен з двох минулих переворотів відповідав появі нового методу наукового пізнання. Цій події незмінно передував тривалий період несвідомого накопичення вихідного матеріалу – завдань, які не вдавалося вирішити старим методом, і компонент нового методу. А народившись і дозріваючи, новий науковий метод змінював обличчя всієї науки і довгий час домінував в ній — до появи наступного методу.

Перший метод пізнання – назвемо його дедуктивно-аксіоматичним – зародився в далекій давнині, дозрів у Стародавній Греції і породив математику, першу науку в історії людства. Другий – назвемо його методом перевірених гіпотез – склавшись до XVII століття, породив сучасну фізику і букет споріднених їй наук, в цілому іменованих природознавством.

Автору статті видається, що зараз ми присутні при початку становлення третього методу пізнання – методу множинних гіпотез, який обіцяє поставити на тверду основу всі науки про самоорганізовані системи.

Щоб краще уявити собі, як може протікати цей новий, третій виток спіралі пізнання, є сенс розглянути її перші два витка, звертаючи увагу не стільки на процес накопичення нових наукових фактів, скільки на саму логіку розвитку науки, а потім спробувати продовжити в майбутнє помічені закономірності.

Від кроманьйонця…

Першим етапом в історії наукового пізнання природно вважати саме виникнення науки. Хоча витоки цієї події губляться в глибині тисячоліть, все ж про нього відомо багато.

Мабуть, першим каменем, що зрушив лавину, було усвідомлення людьми причинно-наслідкових зв’язків між явищами. Йдеться саме про усвідомлення такого зв’язку, тому що несвідоме його використання властиво навіть вищим тваринам. Адже вироблення умовного рефлексу – це і є найпростіший тип встановлення зв’язку між причиною і наслідком. Але у тварини кожен новий рефлекс виробляється незалежно від попередніх, а людина завдяки наявності розвиненої мови здатна формулювати загальні поняття, абстрагуючись від декількох приватних прикладів, і застосовувати ці поняття до багатьох нових ситуацій.

Як тільки людьми була освоєна схема: «подія Б сталася, тому що (до неї) відбулася подія А»,— відразу з’ясувалося, що така найпростіша зв’язка дозволяє відмінно впорядкувати майже весь людський досвід. Не треба тепер запам’ятовувати всі події, досить пам’ятати деякі основні факти «причини» – і вміти виводити з них всі інші факти за допомогою причинно-наслідкових переходів.

Це мистецтво виведення пізніше отримало назву логіки. Зважаючи на свою високу результативність і порівняльну простоту, логіка отримала широкий розвиток вже в античну епоху, і в IV столітті до н. е. Аристотель написав свій знаменитий трактат «Логіка», тим самим оформивши логіку як науку — першу науку в історії людства.

Отже, кінець першого етапу в розвитку наукового пізнання ми можемо датувати досить точно. На жаль, передісторія цього етапу датуванню не піддається – ми не можемо встановити, де, коли і як були вперше придумані поняття «причина» і «наслідок». Справа в тому, що всі найдавніші і зрозумілі нам пам’ятники людської думки — живі і мертві мови, а також міфи і обряди примітивних народів — вже відображають дійсність в термінах причин і наслідків. Мабуть, всі ці пам’ятники молодше десяти тисяч років. Давніший етап осмислення дійсності (якщо він і був, як вважають, допричинно-слідчим), можливо, відображений в мистецтві. Але дешифрування «мов» стародавнього мистецтва робить тільки перші кроки, і розкрити нам той світ поки не може.

Неважко помітити, що причинно-наслідкова ідеологія пред’являє вченому дві вимоги: вміння виводити наслідки з причин і вміння правильно вибирати вихідні передумови (першопричини). Набір вихідних передумов (основних понять і постулатів) в даній області знання називається семантикою цієї області. Термін «семантика» набагато менш знайомий широкому читачеві, ніж термін «логіка», і причина цього проста — якщо мистецтво логічного висновку приносило відмінні плоди ще в давнину, то мистецтво правильного вибору вихідних передумов до наших днів не вилізло з пелюшок. Не дарма сучасні математики і фізики (і багато біологів) дружно стверджують, що «найважче і найкорисніше в науці — це вводити нові визначення, що випливають із істоти справи».

І ось, через таких слабких успіхів в технології вибору першопричин, в причинно-наслідковому пізнанні здавна стався розкол – розділилися індуктивний і дедуктивний методи пізнання. Перший з них (більш простий і древній) допускає введення в процесі роботи нових передумов для пояснення нових явищ. Другий же вимагає логічного пояснення всіх досліджуваних явищ на основі заздалегідь визначеного, замкнутого набору вихідних передумов; придумувати нові забороняється. Спочатку переважав, звичайно, індуктивний метод пізнання, а дедуктивний служив лише підмогою до нього.

Цікавий приклад поєднання цих двох методів дає нам юриспруденція мексиканських індіанців, описана в етнографічних роботах Леві-Стросса. У такому суді обвинувачений повинен переконати суддів, що його незрозумілі або погано витлумачені вчинки насправді з неминучістю випливають з деякого «знамення згори». Таким знаменням можуть послужити будь-які незвичайні явища природи. У поясненнях обвинуваченого тільки логіка висновку повинна бути бездоганною, а в залученні і тлумаченні явищ природи він цілком вільний. Більш того, в ході судового розгляду він може змінювати вихідні передумови свого пояснення, і це не ставиться йому в провину. Наприклад, якщо обвинувачений не зумів обґрунтувати свою поведінку посиланням на дуже сильну грозу напередодні, то він може спробувати пов’язати його з тим, що в той день мисливці племені вперше вбили пуму, або з тим, що дружина вождя народила близнюків. Такий винахід нових сутностей може тривати довго – поки одна з гіпотез обвинуваченого не переконає суддів або поки у них не лопне терпіння, а терпіння у індіанців вистачає!

Такий суд нагадує сучасні конференції з фізики елементарних частинок, де в наявності купа експериментальних фактів, які ніхто не вміє логічно пов’язати між собою; і всі фізики жадають почути яку завгодно екстравагантну теорію, аби вона не суперечила відомим фізичним законам, встановлювала зв’язок всередині великої групи різноманітних фактів і передбачала якісь нові явища. При цьому слухачі так само терпимі до перескакування доповідачів від однієї вихідної гіпотези до іншої, як індіанські судді. Але це – попутне зауваження.

Новий дедуктивний метод пізнання зумів витіснити колишній індуктивний метод з тих розділів природознавства, де порівняно рано вдалося методом стихійних проб і помилок виробити адекватну семантику, тобто зручний набір вихідних понять, що дозволяє коротко і зрозуміло описувати все коло досліджуваних явищ. Це сталося в IV-III столітті до н. е. в логіці, а потім — в арифметиці і в геометрії. «Логіка» Аристотеля і «Начала» Евкліда — безсмертні пам’ятники цієї першої великої перемоги наукової думки, коли були створені перші замкнуті дедуктивно-аксіоматичні системи, що успішно описують (тобто моделюють) великі групи явищ реального світу. Так почалася справжня наука.

Той факт, що саме логіка, арифметика і геометрія першими оформилися як науки, не означає, звичайно, що ці області знання — найважливіші для людей. Вони – всього лише найбільш прості з точки зору потрібної для них семантики (набору основних понять). Не випадково також, що геометрія дозріла на сто років пізніше, ніж логіка,— кожному ясно, що система понять в геометрії набагато багатше, ніж в логіці.

Цікаво й те, що дедуктивно-аксіоматичний метод не мав великих успіхів за межами логіки і математики. Хоча в Стародавній Греції одночасно з геометрією і під її впливом були створені численні різні філософсько-природничі системи, тобто моделі світу, в тому числі «фізика», «зоологія» і соціологічні праці того ж Аристотеля, але ніяких переворотів у фізиці, біології та соціології не відбулося.

Причина зрозуміла: основні, вихідні поняття, потрібні для цих областей знання, виявилися занадто складними, щоб їх можна було вгадати методом простого стихійного пошуку. Образно кажучи, для побудови цих нових наукових будівель потрібні були такі цеглини, які не виліпиш голими руками і не обпечеш на простому багатті.

Підводячи підсумки першого наукового перевороту, можна сказати, що він, в плані результатів, породив перший (досить скромний) букет наук про різні аспекти реального світу, а в плані ідей — створив перший науковий метод пізнання природи: метод дедуктивно-аксіоматичний, або, інакше, «догматичний». Суть цього методу в тому, щоб спочатку правильно вгадати семантику досліджуваного кола явищ (ввести основні поняття і догми — аксіоми), а потім на цій основі за допомогою логічного висновку отримати відповіді на всі питання, що цікавлять нас.

Однак сам цей метод не дає відповіді на питання: як встановити вихідні поняття? Як визначити їх коло?

Епоха Кеплера і Ньютона

Другий переворот в науці приурочений до XVII століття. Хоча цей момент досить близький до нашого часу, тим не менш, уявлення про суть цієї події побутують найрізноманітніші.

Всі згодні з тим, що «виникло експериментальне природознавство, і на основі його оформилися як науки фізика і хімія, а пізніше — також біологія». Але чим відрізняється ідеологія вченого-експериментатора від ідеології вченого — прихильника старого дедуктивно-аксіоматичного методу? Заради якої мети перший з них ставить експерименти і чому другий цього ніколи не робив?

Багато хто вважає, що джерелом експерименту є одна тільки цікавість: «спробуємо і подивимося, що вийде?» Але той, хто так міркує,— ще не вчений, а тільки дилетант. Всякий вчений має одну головну мету – побудувати зручну теорію, що систематизує все досліджуване коло явищ, а для цього потрібно придумати відповідну семантику — ввести набір понять, що вдало відображають суть справи. Але як придумати ці поняття? Тут і проявляється різниця між вченим «догматиком» і вченим-експериментатором.

Перший знає тільки один спосіб пошуку вихідних понять – вгадувати їх, поклавшись на свою інтуїцію. Другий же знає, що навіть невірна передумова може виявитися корисною для побудови правильної наукової теорії, якщо сприймати її не як догму, а як гіпотезу.

Тут і закладена головна відмінність нового наукового методу – методу перевірених гіпотез – від колишнього догматичного методу пізнання.

Саме, було помічено, що так звану догму (постулат, визначення, аксіому) можна не тільки винаходити і наполегливо триматися за неї, або рішуче її відкидати, але можна потроху змінювати її в залежності від результатів її застосування.

Така «текуча» догма називається вже гіпотезою. Висловлюючись сучасною мовою, можна сказати, що головним науково-методологічним відкриттям XVII століття було встановлення зворотного зв’язку між науковою семантикою і практикою пізнання. Адже винаходити визначення і постулати і ставити досліди люди вміли задовго до цього, але нікому не приходило в голову, що поєднання цих двох родів діяльності може дати новий метод опису досліджуваних явищ — не за допомогою одноразового вгадування істини, а шляхом послідовного наближення до цієї істини, починаючи, можливо, і з невірних передумов.

Звичайно, працювати за допомогою нового методу перевірених гіпотез, тобто за схемою: «гіпотеза — перевірочне спостереження або експеримент — нова гіпотеза — новий експеримент —…» нітрохи не легше, ніж за допомогою старого догматичного методу.

Мабуть, навіть важче – адже доводиться багаторазово гвалтувати свою уяву, змушуючи її відкидати тільки що придумані, настільки люб’язні серцю гіпотези і вигадувати замість них нові. Крім того, доводиться вчитися мистецтву постановки дослідів — це мистецтво до того часу не входило в список чеснот вченого, а було долею ремісників. Тому метод перевірених гіпотез був зустрінутий в багнети більшістю вчених – «догматиків», і врятувала його тільки його вражаюча ефективність у багатьох областях, де дедуктивно-аксіоматичний метод був безсилий.

Безодня праці була витрачена вченими (дедукціоністами) за дві тисячі років — від Левкіппа до Буридана — для з’ясування законів механічного руху — і майже без толку. Аристотель стверджував, що «тіло тим швидше падає на землю, чим воно важче» — і йому навіть в голову не приходило засумніватися в силі своєї інтуїції або просто наказати рабу скинути одночасно два різних ядра з високої вежі і подивитися, як вони будуть падати. Такий дослід справив тільки Галілей в XVII столітті – і відразу впала теорія Аристотеля.

Легенда свідчить, що Аристотель помер від засмучення або навіть наклав на себе руки, не зумівши пояснити морські припливи. А Ньютон пояснив їх на кількох сторінках своєї «Натуральної філософії». Правда, для цього йому знадобилися три речі: по-перше, винайти математичний аналіз (але ж вже Архімед впритул підійшов до цього!); по-друге, припустити, що один і той же тип сил (тяжіння) регулює механічний рух будь-яких віддалених один від одного і таких, що не стикаються тіл (але ця ідея побутувала і в Стародавній Греції); і по-третє, потрібно було мати в сформульованому вигляді три закони Кеплера, що описують рух планет навколо Сонця.

Ось тут-то і «зарита собака»: перш ніж вивести ці закони зі спостережень Тихо Браге, Кеплеру довелося перевірити 19 варіантів можливого руху планет! Так катувати свою інтуїцію дедукціоністи були нездатні — і тому вони не зуміли створити наукове природознавство, а експериментатори зробили це за одне століття. У XVII-XVIII століттях поруч з поважною математикою встали на міцну основу фізика, хімія і фізіологія — перший розділ біології, де виявилося можливо ставити активні експерименти і тим самим перевіряти гіпотези набагато швидше, ніж за допомогою пасивних спостережень.

Важливо відзначити, що метод перевірених гіпотез помітно змінив уявлення вчених про цілі наукової теорії. Якщо вчений-дедукціоніст впевнений, що теорія, яка більш-менш вдало пов’язує між собою більшу частину досліджуваних явищ, напевно істинна і єдина, то експериментатор знає з досліду, що пояснити групу заздалегідь відомих фактів можна на основі різних гіпотез, які можуть виключати одна одну і серед яких може не бути істинної. Відбір істинної гіпотези з багатьох альтернатив ведеться за новим критерієм: яка гіпотеза вдаліше інших пророкує нові факти — або не відомі раніше, або такі, які не були враховані при виробленні гіпотези, бо здавалося, що вони не мають відношення до досліджуваного кола явищ.

У той час, як вчений-дедукціоніст прагнув логічно систематизувати заздалегідь обмежений набір фактів, експериментатор хоче побудувати гіпотезу, здатну до експансії в область невідомого, і в цій здатності бачить головну цінність наукової теорії.

Такий перехід від науки пояснюючої до науки пророкуючої є, мабуть, найважливіший плід методу перевірених гіпотез — в плані ідей. У плані ж результатів – метод перевірених гіпотез революціонізував всі ті області природознавства, де виконані наступні умови:

• старий догматичний метод пізнання виявився неефективним;
• вивчаються повторювані відтворювані явища – тільки в цьому випадку можна, спостерігаючи повторення явища, коригувати гіпотезу;
• складність явищ не надто велика – це необхідно для того, щоб з невеликої кількості вихідних гіпотез і поправок до них хоча б деякі виявлялися вірними;
• не обов’язкова, але бажана умова: можливість проведення активних експериментів поряд зі спостереженнями природних явищ.

Розглянемо деякі науки через призму цих умов. Велика частина фізики задовольняє всім перерахованим умовам; саме тому фізика протягом останніх 300 років була справжньою царицею наук. Але тепер у фізиці з’явилися два важких розділи: фізика елементарних частинок і космологія (з космогонією).

Перша з них чим далі, тим складніше (пункт третій), і тому стала «гарячою точкою» науки, що гостро потребує нового наукового методу.

Космологія, очевидно, поки не може навіть мріяти про виконання четвертої умови і відчуває великі труднощі (пункт другий), бо життя людське занадто коротке порівняно з життям зірки або галактики. Ці труднощі вдається, правда, частково обійти через численність і різновіковість спостережуваних зірок. Далі, труднощі космології і космогонії (пункт третій) виявилися настільки великі, що подолати їх самостійно не вдалося.

Допомога прийшла з боку: виникла в XX столітті ядерна фізика забезпечила астрономію новими поняттями і моделями, які дозволили нам зрозуміти структуру і еволюцію зірок. Виявилося, що зірки світять і гріють тільки тому, що чотири протони можуть в результаті певного циклу реакцій злитися в альфа-частинку, маса якої менше суми їх мас; надлишок маси перетворюється в енергію електромагнітного випромінювання, яке нас освітлює і зігріває.

Однак основне питання космогонії — народження нашого Всесвіту (метагалактики) у «Великому Вибуху» і ранній етап його еволюції — залишається поки досить темним місцем; тут наука про мегасвіт — Всесвіт — тісно зближується з наукою про мікросвіт – фізикою елементарних частинок, і обидві вони відчувають найгостріший семантичний голод (тобто їх поняття недостатньо добре відображають суть справи). Так що космологія і фізика елементарних частинок суть дві грані загальної «гарячої точки» науки.

Зауважимо, що приклад, коли ядерна фізика допомогла зоряній астрономії, в двох відносинах повчальний: по-перше, видно, що імпорт доброякісних понять з більш розвинених гілок науки в слабо розвинені гілки може іноді виявитися вельми плідним; по-друге, ми бачимо, що чим багатший запас понять дослідника, тим легше йому виробити правильну гіпотезу і придумати для її перевірки такий експеримент, який він був би в силах провести. При цьому не дуже важливо, звідки дослідник черпає свої поняття – з тієї галузі науки, якою він безпосередньо займається, або з інших, більш розвинених областей, аби ці поняття працювали.

У біологію метод перевірених гіпотез проникав повільно. Тільки у фізіології і в селекції виявилося порівняно легко проводити активні експерименти і вдалося винайти ряд адекватних понять; але семантично простих розділів – таких, де вдалося б винайти всю потрібну семантику, – в біології не знайшлося зовсім. Не дивно, що розмови про «біологічний бум» почалися тільки в п’ятдесятих роках минулого ХХ століття.

Неважко помітити, що в сучасній біології зовсім небагато лідерів — це генетика, молекулярна біологія і, останнім часом, цитологія. У той же час усюди, де ми стикаємося з так званими самоорганізованими системами,— наприклад, в етології і в проблемі зародження життя — положення зовсім інше. Також видно, що успіхи генетики з часів відкриття генотипу Менделем можливі стали тільки через порівняльну доступність експерименту в області селекції, а в основі нинішніх успіхів молекулярної біології і цитології лежить багатий запас «імпортних» понять і методів сучасної фізики та хімії.

Справді, механізм генетичного коду виглядає як природний, хоча і несподіваний розділ хімії макромолекул, а сучасні «молекулярники» і цитологи відкрито говорять, що «природа, створюючи життя, зробила безліч чудових відкриттів в області фізики твердого тіла, а ми зараз повільно і натужно перевідкриваємо її досягнення» (М. Дельбрюк). Однак, створюючи життя, природа не обмежилася одними тільки фізичними і хімічними відкриттями, але також відкрила безліч цікавих ефектів в області самоорганізованих систем, і перед цими ефектами сучасна біологічна наука пасує, не створивши поки принципово нових уявлень, щоб їх успішно моделювати.

У цитології, наприклад, все йде порівняно гладко, поки ми вивчаємо (фізичними і хімічними методами) будову хромосоми або клітинної мембрани. Навпаки, процес ділення клітини зрозумілий нам зараз не більше, ніж було зрозуміло місячне затемнення давньому вавилонському астроному. Він часто спостерігав це явище і міг скласти докладний його опис, навіть розклад. Але не вмів побудувати глобальну модель системи «Земля – Місяць – Сонце» хоча б у вигляді трьох куль, що обертаються в одній площині. Тому для вавилонянина залишався незрозумілим зв’язок між місячними затемненнями, фазами Місяця, попелястим світлом Місяця і змінами висоти припливів. Так і ми зараз маємо хороші кінограми поділу клітини, – але жодна особливість цього процесу досі не була теоретично передбачена!

Є набір локальних моделей, що описують деякі «деталі» клітини (рибосоми, мембрани, хромосоми) і найбільш прості процеси, що протікають в ній,— але наша семантична бідність поки що не дозволяє нам побудувати глобальну модель клітини, яка б пов’язала розклад макропроцесів в ній (поділ, синтез ферментів та інші) з молекулярними механізмами, що їх викликають. А теорія самоорганізації, покликана навести міст через цю прірву, ще не створена і не може бути створена, поки для неї немає бази у вигляді досить багатої практики побудови самоорганізованих систем.

Варто також згадати популярний і нині афоризм, приписуваний Фарадею: «Якщо я у фізиці чого-небудь не розумію без математики, то і з математикою не зрозумію». Мабуть, ясніше не висловити – головним змістом перевороту у фізиці було визрівання суто фізичного кола понять, а імпорт математичних уявлень грав лише допоміжну роль. У той же час важко уявити собі сучасного біолога, який би заявив, що якщо він не розуміє чого-небудь в біології без фізики, хімії та математики, то і з ними не зрозуміє.

Ми бачимо, що наука нині затрималася на порозі двох нових світів: світу елементарних частинок і світу самоорганізованих систем. Причина одна і та ж: ми не можемо побудувати доброякісні вихідні моделі досліджуваних явищ, які б добре пояснювали всю сукупність відомих фактів і передбачали багато нових експериментально спостережуваних ефектів. Крім того, в обох світах зустрічається (а в другому — навіть переважає) така жахлива річ, як унікальні явища (метагалактика, біосфера, людство), з якими класичне (фізичне) наукове мислення взагалі не вміє поводитися.

«Інші речі незрозумілі нам не тому, що наші поняття слабкі, але тому, що речі ці не входять в коло наших понять»,— афоризм Козьми Пруткова дуже тут підходить.

Добре б винайти якусь технологію штучного розширення кола наших вихідних понять і ввести велику кількість нових понять і законів, що вірно відображають суть досліджуваних нами явищ. Можна сподіватися, що в цьому випадку ми зуміли б побудувати доброякісні вихідні гіпотези (моделі) досліджуваних об’єктів, а потім удосконалити їх за допомогою звичної вже техніки перевірених гіпотез.

Але чи можлива технологія цілеспрямованого штучного розширення кола вихідних, основоположних понять і чи може вона приносити хороші плоди? Та й чи не працює вже де-небудь така технологія?

Уявіть, працює! В математиці вона живе вже більше ста років і зараз потроху проникає і в фізику. Давайте розберемося: що ж сталося з математикою в XIX столітті?

А що в математиці?

Все почалося з винаходу неевклідових геометрій. Вони справили в математиці фурор, і не дивно: адже якщо існують несумісні з геометрією Евкліда, але настільки ж несуперечливі і змістовні геометрії Лобачевського і Рімана, то доводиться зробити висновок, що класична геометрія — не є єдино справжня наука про певну групу властивостей реального світу.

Спочатку ефект цього відкриття був деморалізуючий – математики прийшли до висновку, що їх наука не має ніякого відношення до природознавства, а фізики вирішили, що математики грають в іграшки, нікому, крім них самих, не потрібні. Але чи добре, чи погано, а в підсумку математика на півстоліття отримала можливість розвиватися в ізоляції, не пов’язуючи себе позаматематичними додатками. І за ці півстоліття в математиці стався переворот, який природно розділити на дві епохи — поділу (до 1870 року) і возз’єднання (до 1900 року). Простежимо за цим переворотом на прикладі геометрії. В першу епоху геометрія розщепилася на кілька незалежних формальних теорій, кожна з яких по-своєму відображала загальну для них всіх групу властивостей фізичного світу, на зразок того, як лупа, бінокль, радіотелескоп і електронний мікроскоп дають нам різні, несумісні зображення реальних об’єктів.

Кожну з цих теорій можна розглядати як особливий замкнутий «геометричний світ». Такий світ розвивається за своїми власними законами (як було з класичною геометрією з часів Піфагора до Лобачевського і пізніше), але він за своїм змістом значно бідніше фізичної картини світу і з часом неминуче застигає. Якби між різними «геометричними світами» в ході їх незалежного розвитку не виникали нові зв’язки, то доля геометрії (і всієї математики) була б воістину сумна і подібна «тепловій смерті Всесвіту», про яку заговорили тоді ж — в середині XIX століття.

На щастя, епоха поділу змінилася епохою нового об’єднання. У 1872 році Ф. Клейн винайшов нове загальне визначення «геометричного світу», яке дозволило розглядати всі різноманітні геометрії з єдиної точки зору. Саме Клейн запропонував вважати основним об’єктом геометрії будь-який простір X разом з деякою зазначеною групою його перетворень Y і вивчати всі ті властивості X, які не змінюються при всіх перетвореннях з групи Y. Наприклад, для евклідової стереометрії в якості X треба взяти тривимірний координатний простір, а в якості Y — групу всіх зрушень, поворотів і відображень цього простору.

Таке нове тлумачення основних завдань геометрії не тільки повернуло їй втрачену було єдність, а й стимулювало її бурхливий розвиток, бо відразу постав ряд нових цікавих питань, які раніше не приходили в голову математикам, бо не було відповідних понять для їх формулювання.

Для прикладу: якщо X – звичайний тривимірний простір, то, поряд з групою всіх його обертань, відображень і зрушень (що визначає евклідів геометричний світ), можна розглядати а) групу всіх його безперервних перетворень, б) групу всіх його лінійних перетворень, в) групу всіх його гладких перетворень, що зберігають обсяг фігур, г) групу таких перетворень, при яких координати точки змінюються за формулами — многочленам. Відповідні геометричні світи називаються: «топологія», «лінійна геометрія», «ергодична геометрія», «алгебраїчна геометрія»; властивості цих світів і вивчає сучасна геометрія.

Як видно, кругозір геометрії колосально розширився. Сучасна геометрія ставить і вирішує такі завдання, які нашим попередникам (навіть сто років тому) і не снилися. І кожна вирішена задача породжує букет нових завдань, а іноді і нових доброякісних понять; геометричні світи деталізуються, розмножуються, переплітаються; ми оремо, сіємо і пожинаємо плоди великого перевороту в геометрії. Неважко здогадатися, що цей переворот, почавшись в геометрії, не міг не торкнутися інших гілок математики. Адже ключове поняття групи перетворень народилося в алгебрі задовго до того, як Клейн усвідомив його вирішальну роль в геометрії.

Винахідники цього поняття – Галуа і Гаусс – першими почали реформацію алгебри, спробувавши перетворити її з мистецтва рішення рівнянь в науку про особливі «алгебраїчні світи». Процес кристалізації цих світів прискорився під впливом перевороту в геометрії, і на початку XX століття алгебра переродилася.

Тепер вона вивчає властивості всіляких груп, кілець, полів, векторних просторів та інших подібних об’єктів, а також зв’язки між ними, і виявляється, що внутрішнє багатство алгебри не менше, ніж геометрії. Ще цікавіше те, що хоча «алгебраїчні» і «геометричні» світи визначаються по-різному, але більшість найбільш важливих математичних об’єктів (наприклад, евклідові простори і групи Лі) володіють як алгебраїчними, так і геометричними властивостями, тобто області інтересів алгебри і геометрії перетинаються. Виявляється, єдність різних гілок математики теж не втрачена. Окремі канали, на які колись розпалася математика, не ізольовані і збагачують один одного.

Більш того, нові математичні уявлення з несподіваною легкістю проникли в теоретичну фізику (в квантову механіку і в теорію елементарних частинок). У підсумку зміцнів зв’язок математики з фізикою. Правда, це зовсім новий тип зв’язку – як би договірна співпраця рівних партнерів, що переслідують різні цілі. Але і цього достатньо для взаємного збагачення різних гілок науки.

В цілому сучасна математика нагадує казковий ліс переплетених стовбурів, який безперервно змінюється: стовбури гілкуються, їх гілки зростаються, народжуючи нові стовбури; весь час «математики говорять про різні речі — з однієї точки зору, і на різних мовах — про одну річ» (Д. Пойа). Цю ситуацію влучно назвали «безперервним семантичним землетрусом»: важливо те, що така система виявляється стійкою (математика живе в цьому режимі вже майже століття) і породжує постійний, досить високий рівень надмірності нових понять, який дозволяє математиці успішно справлятися з власним «інформаційним потопом» і навіть здійснювати систематичні набіги на суміжні області, тобто на всі області природознавства і на деяку частину суспільних наук.

Отже, можна зробити наступні висновки: по — перше, успішний розвиток математики спочатку йшов по шляху незалежної кристалізації теорій, що суперечать одна одній, і лише потім, коли ці теорії дозріли, між ними — несподівано для математиків – виявилися глибокі внутрішні зв’язки, і настала епоха синтезу і збору плодів, причому урожай перевершив найсміливіші очікування. По-друге, нова математична семантика, що народилася в цьому внутрішньо-математичному вибуху, виявилася (знову-таки несподівано і для математиків, і для натуралістів) набагато більш здатною стимулювати прогрес природознавства, ніж колишня математика (хоча, здавалося б, та була «набагато ближче до життя»).

Як було б добре, якби такий же вибух стався в тих областях, які зараз відчувають семантичний голод – в теоретичній фізиці і в біології! Але ми знаємо, що зміна структури науки — процес внутрішній, експорт його неможливий. Отже, треба розібратися, чи є зараз передумови для семантичних переворотів у фізиці та біології, і чи можемо ми що-небудь зробити для стимулювання цих подій.

Автор: С. Смирнов, кандидат фізико-математичних наук.